Bankan MO 2017


Bài 1. Giải phương trình x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\quad (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC\omega là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi t_Bt_C là hai tiếp tuyến của \omega tại BC tương ứng, và L là giao điểm của chúng. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt t_C tại D. Đường thẳng qua C và song song với AB cắt t_B tại E. (BDC) cắt đoạn AC tại T. (BEC) cắt AB tại S sao cho B nằm giữa SA. Chứng minh rằng ST, ALBC đồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{N}^* sao cho

n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*.

Bài 4.n> 2 sinh viên ngồi quanh một bàn tròn và mỗi sinh viên có đúng 1 cái kẹo. Ở mỗi bước, mỗi sinh viên thực hiện một trong hai thao tác sau (họ làm đồng thời):

1) Chuyển 1 cái kẹo cho một trong hai người ngồi cạnh.

2) Chia số kẹo của mình thành hai phần (có thể rỗng) và chuyển hai phần đó cho hai người ngồi cạnh, mỗi người một phần.

Một cách chia kẹo được gọi là tốt nếu sau hữu hạn lần thực hiện thao tác trên, cách chia kẹo đó được hình thành. Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo tốt?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s