China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Trường hợp 2: \displaystyle n lẻ.

Ta viết \displaystyle n=2k+1,\quad k\in\mathbb{N}. Nếu \displaystyle k=0 thì \displaystyle (x,y)=(x_0,y_0), giờ ta chỉ xét \displaystyle k\geq 1.

Dùng định lý nhị thức ta thu được

\displaystyle x=\sum_{m=1}^kx_0^{2m+1}2003^{k-m}y_0^{2k-2m}C_{2k+1}^{2m+1}+x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1).

Phân tích \displaystyle x_0=\prod p_i^{\alpha_i}, ta thấy \displaystyle (p_i,y_0)=(p_i,2003)=1,\,\forall i.

Ta sẽ chứng minh \displaystyle v_{p_i}(x)=v_{p_i}(x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1)),\,\,\forall i.

Nếu \displaystyle p_i=2 thì \displaystyle v_{p_j}(x_0^{2m+1}2003^{k-m}y_0^{2k-2m}C_{2k+1}^{2m+1})\geq (2m+1)\alpha_i>\alpha_i=v_{p_i}(x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1)).

Nếu \displaystyle p_i>2, đặt \displaystyle v_{p_i}(2k+1)=\beta_i, ta có

\displaystyle v_{p_i}(x_0^{2m+1}2003^{k-m}y_0^{2k-2m}C_{2k+1}^{2m+1})=(2m+1)\alpha_i+v_{p_i}((2k+1)...(2k-2m+1))-v_{p_i}((2m+1)!)

\displaystyle \geq (2m+1)\alpha_i+\beta_i-\frac{2m+1}{p_i-1} \geq (2m+1)\alpha_i+\beta_i-\frac{2m+1}{2}

\displaystyle >\alpha_i+\beta_i =v_{p_i}(x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1)).

Tóm lại \displaystyle v_{p_i}(x)=v_{p_i}(x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1)),\,\,\forall i, suy ra \displaystyle x|x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1), nhưng \displaystyle x>x_0.2003^ky_0^{2k}(2k+1)>0, vô lý.

Vậy \displaystyle (x,y)=(x_0,y_0).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s