China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý.

Kết hợp với (2014-i)!(i-1)!|2013! ta có \displaystyle v_2\left(\prod_{1\leq j\leq 2014,j\not=i}(x+j)\right)=v_2((2014-i)!(i-1)!)\leq v_2(2013!).\prod (x+j)=\prod (y+j) chia hết cho 4028!, suy ra

\displaystyle x+i\geq v_2(x+i)\geq v_2\left(\frac{4028!}{2013!}\right)>2^{1007}, do đó x>2^{1006}, suy ra

\displaystyle (y+4028)^{4028}>\prod (y+j)=\prod (x+j)>2^{1006.2014}\Rightarrow y+4028>2^{503}\Rightarrow y>2^{502}.

Bây giờ ta cần bổ đề sau:

Bổ đề. Với \displaystyle 0\leq x_i<\dfrac{1}{2}\,\,\forall i=1,2,\ldots,n, \displaystyle x=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n},y=2\max \{x_i^2\} ta có

\displaystyle 1-x\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1-x_i)}\geq 1-x-y.

Chứng minh của bổ đề. Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có

\displaystyle 1-x\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1-x_i)}\geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}}\geq\frac{n}{\sum_{i=1}^n(1+x_i+2x_i^2)}

\displaystyle =\frac{n}{n+nx+2\sum_{i=1}^nx_i^2}\geq\frac{1}{1+x+y}\geq 1-x-y.

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán.

Viết lại phương trình dưới dạng

\displaystyle w\sqrt[2014]{\prod_{i=1}^{2014}\left(1-\frac{i}{w}\right)}=z^2\sqrt[2014]{\prod_{i=1}^{2014}\left(1-\frac{(2i-1)^2}{4z^2}\right)},\,\, (1)

ở đây \displaystyle w=x+2015>2^{1007},z=y+\dfrac{4029}{2}>2^{502}.

Áp dụng bổ đề trên ta có

\displaystyle w\left(1-\frac{2015}{2w}\right)>w\sqrt[2014]{\prod_{i=1}^{2014}\left(1-\frac{i}{w}\right)}>w\left(1-\frac{2015}{2w}-\frac{2.2014^2}{w^2}\right)>w\left(1-\frac{2015}{2w}\right)-\frac{1}{8}.

suy ra phần lẻ của vế trái của \displaystyle (1) thuộc khoảng \displaystyle (\frac{3}{8};\frac{1}{2}).

Tiếp tục áp dụng bổ đề ta có

\displaystyle z^2\left(1-\frac{1^2+3^2+\cdots+4027^2}{4z^2.2014}\right)>z^2\sqrt[2014]{\prod_{i=1}^{2014}\left(1-\frac{(2i-1)^2}{4z^2}\right)}>

\displaystyle z^2\left(1-\frac{1^2+3^2+\cdots+4027^2}{4z^2.2014}-\frac{2.4027^4}{(4z^2)^2}\right)

\displaystyle \Rightarrow z^2-\frac{4.2014^2-1}{12}>z^2\sqrt[2014]{\prod_{i=1}^{2014}\left(1-\frac{(2i-1)^2}{4z^2}\right)}>

\displaystyle z^2-\frac{4.2014^2-1}{12}-\frac{4027^4}{8z^2}>z^2-\frac{4.2014^2-1}{12}-\frac{1}{8},

suy ra phần lẻ của vế phải của (1) thuộc khoảng \displaystyle (\frac{7}{8};1).

Bài toán được giải.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s