Turkey TST 2017 (2)


Các bạn có thể xem ngày đầu ở đây.

Ngày thứ hai

Bài 4. Trong phòng có n sinh viên tuổi đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi sinh viên A bắt tay với ít nhất một sinh viên mà sinh viên này không bắt tay với ai khác trẻ hơn A. Tìm tất cả n để điều này có thể xảy ra.

Bài 5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca). Continue reading “Turkey TST 2017 (2)”

Turkey TST 2017 (1)


Ngày thứ nhất

Bài 1.Tìm tất cả các số nguyên dương m,n và số nguyên tố p sao cho (m^3+n)(n^3+m)=p^3.

Bài 2. Cho một quốc gia có 2017 thành phố. Có các đường bay 2 chiều giữa một số cặp thành phố sao cho với mỗi 2 thành phố, ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố kia bằng một dãy đường bay. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k sao cho: với mọi cách thiết kế đường bay, tồn tại k thành phố để mỗi thành phố khác đều có thể bay đến trực tiếp một trong k thành phố này. Continue reading “Turkey TST 2017 (1)”

Bankan MO 2017


Bài 1. Giải phương trình x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\quad (x,y\in\mathbb{N}^*).

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với AB<AC\omega là đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi t_Bt_C là hai tiếp tuyến của \omega tại BC tương ứng, và L là giao điểm của chúng. Đường thẳng qua B và song song với AC cắt t_C tại D. Đường thẳng qua C và song song với AB cắt t_B tại E. (BDC) cắt đoạn AC tại T. (BEC) cắt AB tại S sao cho B nằm giữa SA. Chứng minh rằng ST, ALBC đồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{N}^* sao cho

n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\quad \forall m,n\in \mathbb{N}^*. Continue reading “Bankan MO 2017”

China TST 2003 – Test 3/ Problem 3


Bài toán. Cho \displaystyle x_0+\sqrt{2003}y_0 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell \displaystyle x^2-2003y^2=1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương \displaystyle (x,y) của phương trình sao cho \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x.

Lời giải. Từ giả thiết, tồn tại số nguyên dương \displaystyle n sao cho \displaystyle x+\sqrt{2003}y=(x_0+\sqrt{2003}y_0)^n.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \displaystyle n chẵn.

Ta có \displaystyle x\equiv 2003^{n/2}y_0^n\pmod{x_0}, trái với giả thiết \displaystyle x_0 chia hết cho mọi ước nguyên tố của \displaystyle x. Continue reading “China TST 2003 – Test 3/ Problem 3”

China TST 2014 – Test 3/Problem 3


Bài toán.  Chứng minh rằng không tồn tại cặp (x,y) các số nguyên dương thỏa mãn \displaystyle (x+1) (x+2)\cdots (x+2014)= (y+1) (y+2)\cdots (y+4028).

Lời giải. Tồn tại số nguyên dương i sao cho \displaystyle v_2(x+i)=\max_{1\leq j\leq 2014} v_2(x+j). Suy ra với mỗi 1\leq j\leq 2014, j\not=i ta có v_2(x+j)=v_2(x+i+(j-i))=v_2(j-i), thật vậy, không thể có v_2(j-i)>v_2(x+i), vì nếu không, v_2(j-i)>v_2(x+i)\,\forall i, do đó v_2(j-i)\geq 11 vì trong vế trái sẽ có số chia hết cho 1024, suy ra |j-i|\geq 2^{11}, vô lý. Continue reading “China TST 2014 – Test 3/Problem 3”