APMO 2017


Bài 1. Ta gọi một bộ 5 số nguyên là sắp xếp được nếu có thể đánh số chúng thành a, b, c, d, e để a-b+c-d+e=29. Tìm tất cả các bộ 2017 số nguyên (n_1, n_2, . . . , n_{2017}) sao cho khi ta đặt chúng lên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ, mỗi 5 số liên tiếp trên đường tròn tạo thành một bộ sắp xếp được.

Bài 2. Cho tam giác ABCAB < AC. Gọi D là giao điểm của phân giác trong của \widehat{BAC} và đường tròn (ABC). Gọi Z là giao điểm của trung trực của AC với phân giác ngoài của \widehat{BAC}. Chứng minh rằng trung điểm của AB nằm trên đường tròn (ADZ).

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi A(n) là số các dãy a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k các số nguyên dương thỏa mãn a_1+\cdots{}+a_k = na_i +1 là một lũy thừa của 2 với mỗi i = 1,2,\cdots{},k, B(n) là số các dãy b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m các số nguyên dương sao cho b_1+\cdots{}+b_m =nb_j\ge 2b_{j+1} với mỗi j=1,2,\cdots{}, m-1. Chứng minh rằng A(n) = B(n),\quad\forall n\in\mathbb{N}^*.

Bài 4. Một số hữu tỷ r được gọi là tốt nếu r=\dfrac{p^k}{q} với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau p, q và số nguyên k >1. Cho a, b, c là các số hữu tỷ dương sao cho abc = 1. Giả sử tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho a^x + b^y + c^z là số nguyên. Chứng minh rằng cả a, b, c là tốt.

Bài 5. Cho số nguyên dương n. Một cặp các n-bộ (a_1,\cdots{}, a_n)(b_1,\cdots{}, b_n) với các thành phần nguyên được gọi là cặp tốt nếu |a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1. Tìm số lớn nhất các n-bộ phân biệt sao cho mỗi hai trong chúng tạo thành một cặp tốt.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s