Canada MO 2017


Bài 1. Cho a,b,c là các số thực không âm đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2.

Bài 2. Cho hàm f(n) từ tập các số nguyên dương đến chính nó sao cho f(f(n)) là số ước dương của n. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì f(p) là số nguyên tố.

Bài 3. Cho số nguyên dương n. Một tập con khác rỗng T_n của [n] được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng các phần tử của T_n bằng trung gian của T_n. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, số tập con cân bằng của [n] là lẻ.

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm P, Q nằm trong ABCD sao cho ABPBCQ là các tam giác đều. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng đi qua P vuông góc với PD và đường thẳng đi qua Q vuông góc với DQ nằm trên đường cao qua B của \bigtriangleup{ABC}.

Bài 5.100 đường tròn bán kính 1 trong mặt phẳng sao cho các tam giác có 3 đỉnh là 3 tâm bất kỳ của các đường tròn này có diện tích không vượt quá 2017. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất 3 đường tròn.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s