Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 ở link https://nttuan.org/2017/05/17/iran-tst-2017-2/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn a_m>0:

\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.

Bài 2. Cho P là một điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho

\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC.

Chứng minh rằng \angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương x,y,z:

1) f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).

2) f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho 6 điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong 4 điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số k. Chứng minh rằng cả 6 điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 5. Cho \left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty} là một dãy các số thực không âm thỏa mãn c_{2017}>0. Xét dãy đa thức P_n(x) xác định bởi

P_{-1}(x)=0 \ ,  \ P_0(x)=1 \ ,  \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{n-1}(x),\,\forall n\geq 0.

Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n>2017 và số thực c sao cho P_{2n}(x)=P_n(x^2+c).

Bài 6. Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp O và trực tâm H. Điểm P đối xứng với A qua OH. Giả sử P không nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A. Các điểm E,F lần lượt thuộc AB,AC sao cho BE=PC \ ,  CF=PB. Gọi K là giao điểm của AP,OH. Chứng minh rằng \angle EKF = 90 ^{\circ}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s