Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần đầu ở link https://nttuan.org/2017/05/15/iran-tst-2017-1/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tứ giác ABCD là hình thang với AB \parallel CD. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại P. Gọi \omega _1 là đường tròn qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi \omega _2 là đường tròn qua C và tiếp xúc với BD tại D. Gọi \omega _3 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Chứng minh rằng dây chung của các đường tròn \omega _1,\omega _3 và dây chung của các đường tròn \omega _2, \omega _3 cắt nhau tại một điểm trên AD.

Bài 2. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào chia hết cho nhau nhưng trong mỗi ba số, một số chia hết tổng hai số còn lại.

Bài 3. Xét 27 tấm thẻ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi tấm thẻ có đúng 1 hoặc 2 hoặc 3 hình tròn hoặc hình vuông hoặc hình tam giác trên nó và các hình này mang đúng một trong ba màu trắng, xám hoặc đen;

2) Trên mỗi tấm thẻ chỉ có một loại hình: hình tròn, hình vuông, hoặc hình tam giác.

Một bộ ba các tấm thẻ được gọi là phù hợp nếu các tấm thẻ có số lượng hình bằng nhau hoặc đôi một khác nhau, có cùng loại hình hoặc các loại hình đôi một khác nhau, và có màu của các hình giống hoặc đôi một khác nhau.

Hỏi ta có thể chọn ra nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ để không thể tạo thành một bộ ba phù hợp từ các tấm thẻ này?

Ngày thứ hai

Bài 4. Một bộ các đa thức n biến với hệ số thực \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) được gọi là tốt nếu nó có tính chất: với mỗi n hàm f_1,f_2, \cdots ,f_n : \mathbb R \to \mathbb R, nếu với mọi 1 \le i \le n+1, P_i(x)=h_i \left(f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) \right) là một đa thức biến x thì f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) cũng là các đa thức.

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho bậc của tất cả h_i lớn hơn 1.

b) Chứng minh không có số nguyên n>1 để có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho tất cả h_i là các đa thức đối xứng.

Bài 5. k,n là hai số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng ít nhất (k-1)(n-k+1) số nguyên dương có thể tạo thành khi dùng n số k và sử dụng các phép toán +,-,\times, \div cùng các cặp ngoặc, nhưng không thể khi dùng n-1 số k.

Bài 6. Cho số nguyên k>1. Dãy số a_1,a_2, \cdots xác định bởi a_1=1, a_2=ka_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0,\,\forall n>1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho a_n là một lũy thừa của k.

1 thought on “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s