Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần đầu ở link https://nttuan.org/2017/05/15/iran-tst-2017-1/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tứ giác ABCD là hình thang với AB \parallel CD. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại P. Gọi \omega _1 là đường tròn qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi \omega _2 là đường tròn qua C và tiếp xúc với BD tại D. Gọi \omega _3 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC. Chứng minh rằng dây chung của các đường tròn \omega _1,\omega _3 và dây chung của các đường tròn \omega _2, \omega _3 cắt nhau tại một điểm trên AD.

Bài 2. Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho tồn tại n số nguyên dương thỏa mãn: Không có hai số nào chia hết cho nhau nhưng trong mỗi ba số, một số chia hết tổng hai số còn lại.

Bài 3. Xét 27 tấm thẻ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi tấm thẻ có đúng 1 hoặc 2 hoặc 3 hình tròn hoặc hình vuông hoặc hình tam giác trên nó và các hình này mang đúng một trong ba màu trắng, xám hoặc đen;

2) Trên mỗi tấm thẻ chỉ có một loại hình: hình tròn, hình vuông, hoặc hình tam giác.

Một bộ ba các tấm thẻ được gọi là phù hợp nếu các tấm thẻ có số lượng hình bằng nhau hoặc đôi một khác nhau, có cùng loại hình hoặc các loại hình đôi một khác nhau, và có màu của các hình giống hoặc đôi một khác nhau.

Hỏi ta có thể chọn ra nhiều nhất bao nhiêu tấm thẻ để không thể tạo thành một bộ ba phù hợp từ các tấm thẻ này?

Ngày thứ hai

Bài 4. Một bộ các đa thức n biến với hệ số thực \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) được gọi là tốt nếu nó có tính chất: với mỗi n hàm f_1,f_2, \cdots ,f_n : \mathbb R \to \mathbb R, nếu với mọi 1 \le i \le n+1, P_i(x)=h_i \left(f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) \right) là một đa thức biến x thì f_1(x),f_2(x), \cdots, f_n(x) cũng là các đa thức.

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho bậc của tất cả h_i lớn hơn 1.

b) Chứng minh không có số nguyên n>1 để có bộ tốt \left(h_1,h_2, \cdots, h_{n+1}\right) sao cho tất cả h_i là các đa thức đối xứng. Continue reading “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 2”