Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho a,b,c,d là các số thực dương với a+b+c+d=2. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right ).

Bài 2.13 học sinh tham gia kỳ thi chọn đội IMO của một quốc gia. Họ đã làm 6 bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của 6 bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội IMO sẽ gồm 6 học sinh).

Bài 3. Cho tam giác ABC với I_a là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi \omega là một đường tròn bất kỳ qua A,I_a và cắt phần kéo dài của các cạnh AB,AC (kéo dài từ B,C) tại X,Y tương ứng. Gọi S,T là các điểm trên các đoạn I_aB,I_aC tương ứng sao cho \angle AXI_a=\angle BTI_a\angle AYI_a=\angle CSI_a. Các đường thẳng BT,CS cắt nhau tại K. Các đường thẳng KI_a,TS cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Ngày thứ hai

Bài 4. Gọi p_i là số nguyên tố thứ i. Cho n_1<n_2<\cdots là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi i=1,2,3,\cdots, phương trình x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i} có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không?

Bài 5. Cho tam giác ABC. Các điểm P,Q nằm trên cạnh BC sao cho BP=CQP nằm giữa B,Q. Đường tròn (APQ) cắt các cạnh AB,AC tại E,F tương ứng. Điểm T là giao điểm của EPFQ. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của BC và song song với AB, AC cắt EPFQ lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng (TXY) tiếp xúc với (APQ).

Bài 6. Trong các ô vuông con của một băng cỡ 1 \times 100 ta viết một số nguyên dương thuộc [100] sao cho dãy hình thành là dãy tăng từ trái qua phải. Gấp băng này theo dòng chứa nó theo một thứ tự tùy ý và hướng tùy ý cho đến khi sinh ra một băng cỡ 1 \times1100 lớp, nhìn từ trên xuống ta sẽ thu được một hoán vị của [100]. Chứng minh rằng số các hoán vị hình thành theo cách này nằm giữa 2^{100}4^{100}.

1 thought on “Đề thi chọn đội IMO 2017 của Iran (Iran TST 2017) – Phần 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s