USA JMO 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên (a, b) sao cho a>1, b>1, (a,b)=1a^b+b^a chia hết cho a+b.

Bài 2. Xét phương trình (3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7.

(a) Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương;

(b) Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình.

Bài 3. Cho tam giác đều ABC và điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi D là giao điểm của PABC, E là giao điểm của PBAC, F là giao điểm của PCAB. Chứng minh rằng diện tích của tam giác DEF gấp đôi diện tích của tam giác ABC.

Ngày thứ hai

Bài 4. Tồn tại hay không bộ ba các số nguyên dương (a,b,c) sao cho (a-2)(b-2)(c-2)+12 là một số nguyên tố và nó là ước thực sự của số nguyên dương a^2+b^2+c^2+abc-2017?

Bài 5. Cho OH lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn ABC. Các điểm MD nằm trên cạnh BC sao cho BM=CM\angle BAD = \angle CAD. Tia MO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC tại N. Chứng minh rằng \angle ADO = \angle HAN.

Bài 6. Cho P_1, P_2, \dots, P_{2n}2n điểm phân biệt trên đường tròn x^2+y^2=1, khác (1,0). Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng n điểm đỏ và n điểm xanh. Gọi R_1, R_2, \dots, R_n là một cách đánh số các điểm đỏ. Gọi B_1 là điểm xanh gần R_1 nhất khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_1. B_2 là điểm xanh gần R_2 nhất trong các điểm xanh còn lại khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_2, và cứ thế. Chứng minh rằng số cung cùng chiều kim đồng hồ có dạng R_i \to B_i chứa (1,0) không phụ thuộc vào cách đánh số  các điểm đỏ.

2 thoughts on “USA JMO 2017”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s