Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2017 (USA MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên (a, b) sao cho a>1, b>1, (a,b)=1a^b+b^a chia hết cho a+b.

Bài 2. Cho m_1, m_2, \ldots, m_nn số nguyên dương. Với mỗi dãy số nguyên A = (a_1, \ldots, a_n) và mỗi hoán vị w = w_1, \ldots, w_n của m_1, \ldots, m_n, định nghĩa A-nghịch đảo của w là một cặp w_i, w_j với i < j sao cho một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

1) a_i \ge w_i > w_j

2) w_j > a_i \ge w_i,

3) w_i > w_j > a_i.

Chứng minh rằng với mỗi hai dãy A = (a_1, \ldots, a_n), B = (b_1, \ldots, b_n), và với mỗi số nguyên dương k, số hoán vị của m_1, \ldots, m_n có đúng k A-nghịch đảo bằng số hoán vị của m_1, \ldots, m_n có đúng k B-nghịch đảo.

Bài 3. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn nội tiếp I. Tia AI cắt BC tại D\Omega tại điểm thứ hai M; đường tròn đường kính DM cắt \Omega tại điểm thứ hai K. Các đường thẳng MKBC cắt nhau tại S, và N là trung điểm của IS. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác KIDMAN cắt nhau tại L_1,L_2. Chứng minh rằng \Omega chia đôi IL_1 hoặc IL_2.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho P_1, P_2, \dots, P_{2n}2n điểm phân biệt trên đường tròn x^2+y^2=1, khác (1,0). Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng n điểm đỏ và n điểm xanh. Gọi R_1, R_2, \dots, R_n là một cách đánh số các điểm đỏ. Gọi B_1 là điểm xanh gần R_1 nhất khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_1. B_2 là điểm xanh gần R_2 nhất trong các điểm xanh còn lại khi đi theo chiều kim đồng hồ quanh đường tròn từ R_2, và cứ thế. Chứng minh rằng số cung cùng chiều kim đồng hồ có dạng R_i \to B_i chứa (1,0) không phụ thuộc vào cách đánh số  các điểm đỏ. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Mỹ năm 2017 (USA MO 2017)”