Đề thi chọn HSG Quốc gia của Hàn Quốc năm 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Đường tròn (OAB), gọi là O_1, và đường tròn (OAC), gọi là O_2, cắt lại BC tại D\, ( \not=B )E\, ( \not= C ) tương ứng. Trung trực của BC cắt AC tại F. Chứng minh rằng tâm của (ADE) nằm trên AC khi và chỉ khi các tâm của O_1, O_2F thẳng hàng.

Bài 2. Cho số nguyên dương n(a_0, a_1, \cdots , a_n) là một bộ các số nguyên. Với k=0, 1, \cdots , n, gọi b_k  là số các k trong (a_0, a_1, \cdots ,a_n). Với k = 0,1, \cdots , n, gọi c_k là số các k trong (b_0, b_1, \cdots ,b_n). Tìm tất cả (a_0, a_1, \cdots ,a_n) sao cho a_0 = c_0, a_1=c_1, \cdots, a_n=c_n.

Bài 3. Cho dãy số (c_n) xác định bởi c_n=2017^n,\,\forall n\in\mathbb{N}^*. Xét các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325),\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*.

2) 0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.

Chứng minh rằng tồn tại dãy số a_1, a_2, \cdots sao cho với mọi n, k thỏa mãn a_k<n, ta có f(n)^{c_k} < f(c_k)^n.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho n>1 số a_1, a_2, \cdots ,a_n thỏa mãn a_1 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

\displaystyle a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1},\quad (k=2,3, \cdots n).

(a) Chứng minh rằng a_1, a_2, \cdots a_n là các số nguyên.

(b) Chứng minh rằng có đúng một số trong a_1, a_2, \cdots a_n không chia hết cho 2n-1 và đúng một số trong đó không chia hết cho 2n+1 nếu và chỉ nếu 2n-12n+1 là các số nguyên tố.

Bài 5. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với L là trung điểm của ABM là trung điểm của CD. Giả sử AC \cap BD = E và các tia AB, DC cắt nhau tại F. Gọi LM \cap DE = PQ là hình chiếu vuông góc của P trên EM. Chứng minh rằng nếu trực tâm của tam giác FLME thì

\displaystyle \frac{EP^2}{EQ} = \frac{1}{2} \left( \frac{BD^2}{DF} - \frac{BC^2}{CF} \right).

Bài 6. Trong phòng có 2017 cái hộp đặt quanh một bàn tròn. Một tập các hộp được gọi là bạn bè nếu nó có ít nhất 2 hộp và từ mỗi hộp trong tập, nếu ta đi ngược chiều kim đồng hồ, ta sẽ đi qua 0 hoặc số lẻ hộp trước khi đến hộp khác trong tập. 30 học sinh vào phòng và mỗi người chọn một tập các hộp là bạn bè, sau đó mỗi học sinh bỏ một lá thư vào trong mỗi hộp mà mình đã chọn. Chứng minh rằng nếu tập các hộp có chứa 30 lá thư không là bạn bè thì tồn tại hai học sinh A, B và hai hộp a, b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) A chọn a nhưng không chọn b, và B chọn b nhưng không chọn a.

(ii) Bắt đầu từ a và đi ngược chiều kim đồng hồ đến b, số hộp ta đi qua (không kể ab) không phải là số lẻ và cả A, B không chọn hộp nào trong các hộp ta đã đi qua.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s