Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 3


Các bạn có thể xem phần 2 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/09/topic-879/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số nguyên n \geq 4. Xét các số thực không âm x_1,\ldots,x_n thỏa mãn x_1 + \cdots + x_n = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của A trên BC,BD,CDP,Q,R tương ứng, ở đây P,Q nằm trên cạnh BC,BD còn R nằm ngoài cạnh CD. Gọi hình chiếu vuông góc của D trên AC,BC,ABX,Y,Z tương ứng, ở đây X,Y nằm trên cạnh AC,BC còn Z nằm ngoài cạnh BA. Gọi trực tâm của tam giác ABDH. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQRXYZ chia đôi BH.

Bài 3. Cho X là tập có 100 phần tử. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi dãy n tập con của X, A_1,A_2,\ldots,A_n, tồn tại 1 \leq i < j < k \leq n sao cho A_i \subseteq A_j \subseteq A_k hoặc A_i \supseteq A_j \supseteq A_k.

Ngày thứ hai

Bài 4. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58} sao cho nó có đúng 29 nghiệm thực dương, có đúng 29 nghiệm thực âm và \log_{2017} |a_i| là số nguyên dương với mọi 1 \leq i \leq 58.

Bài 5. Chứng minh rằng tồn tại số thực C>0 sao cho với mỗi hai số nguyên dương H,N thỏa mãn H \geq 3, N \geq e^{CH}, với mỗi tập con của \{1,2,\ldots,N\} có số phần tử bằng \lceil \frac{CHN}{\ln N} \rceil, ta có thể tìm H số trong nó sao cho ước chung lớn nhất của mỗi hai phần tử là ước chung lớn nhất của tất cả H phần tử.

Bài 6. Mỗi ô vuông con của bảng ô vuông cỡ 2017\times 2017 được tô một trong hai màu đen hay trắng sao cho mỗi ô kề với ít nhất một ô cùng màu với nó. Gọi V_1 là tập tất cả các ô đen, V_2 là tập tất cả các ô trắng. Với V_i\, (i=1,2), nếu hai ô trong nó kề nhau thì ta vẽ đoạn thẳng nối hai tâm của ô, ta được Graph G_i. Chứng minh rẳng nếu cả hai G_1G_2 liên thông và không có chu trình thì tâm của bảng không phải là đỉnh cô lập của G_1 hoặc G_2.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s