Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2


Các bạn có thể xem phần 1 tại địa chỉ https://nttuan.org/2017/04/06/topic-878/

Ngày thứ nhất

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi D_n là tập tất cả các ước của nf(n) là số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho các phần tử của D_n đôi một khác nhau theo modulo m. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n \geq N, ta có f(n) \leq n^{0.01}.

Bài 2. 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

a) Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;

b) Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.

Chứng minh rằng tồn tại 673 kỹ sư sao cho mỗi hai người trong họ đã thảo luận với nhau bằng tiếng Trung.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng l. Biết l cắt các đường thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD lần lượt tại X, X', Y, Y', Z, Z' và sáu điểm này nằm trên l theo thứ tự X, Y, Z, X', Y', Z'. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính XX', YY', ZZ' đồng trục.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập \{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}, tồn tại các số tự nhiên x,y không đồng thời bằng 0 sao cho 2n|ax+byx+y\leq m.

Bài 5. Cho \varphi(x) là một đa thức bậc ba với hệ số nguyên. Biết \varphi(x) có ba nghiệm thực phân biệt u,v,w sao cho u,v,w không phải số hữu tỷ và có các số nguyên a,b,c thỏa mãn u=av^2+bv+c. Chứng minh rằng b^2 -2b -4ac - 7 là số chính phương.

Bài 6. Cho M là một tập con của \mathbb{R} thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

a) Với mọi x \in M, n \in \mathbb{Z}, ta có x+n \in M.

b) Với mọi x \in M, ta có -x \in M.

c) M\mathbb{R}\setminus M chứa một khoảng có độ dài lớn hơn 0.

Với mỗi x, đặt M(x) = \{ n \in \mathbb{Z}^{+} | nx \in M \}. Chứng minh rằng nếu \alpha,\beta là các số thực thỏa mãn M(\alpha) = M(\beta) thì \alpha + \beta hoặc \alpha - \beta là số hữu tỷ.

One thought on “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 2”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s