Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho hình bát diện đều T. Từ một điểm bên ngoài T có thể nhìn thấy nhiều nhất bao nhiêu cạnh của T? (Từ điểm P nhìn thấy được cạnh AB nếu giao của T và tam giác không suy biến PAB là đoạn AB).

Bài 2. Cho số thực x>1 và số nguyên dương n. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}.

Bài 3. Cho S=\{1,2,3,...,2017\}. Với mọi tập con A của S, xác định số thực f(A)\geq 0 sao cho:

(1) Với mọi A,B\subset S, f(A\bigcup B)+f(A\bigcap B)\leq f(A)+f(B);

(2) Với mọi A\subset B\subset S, f(A)\leq f(B);

(3) Với mọi k,j\in S, f(\{1,2,...,k+1\})\geq f(\{1,2,...,k\}\bigcup \{j\});

(4) f(\varnothing)=0.

Chứng minh rằng với mọi tập con T có ba phần tử của S, ta có f(T)\leq \dfrac{27}{19}f(\{1,2,3\}).

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) sao cho tồn tại hai đa thức monic P(x)Q(x), với \deg{P}=m, \deg{Q}=nP(Q(t))\not=Q(P(t)),\quad\forall t\in\mathbb{R}.

Bài 5. Cho tam giác không cân ABC. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của CA, F là trung điểm của AB. Đường thẳng khác BC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC và qua D cắt EF tại X. Các điểm Y,Z được xác định tương tự. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng.

Bài 6. Với số nguyên dương n và số nguyên tố p, tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m thỏa mãn: với mỗi đa thức f(x)=(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n) (a_1,a_2,...,a_n là các số nguyên dương) và mỗi số tự nhiên k, tồn tại số tự nhiên k' sao cho v_p(f(k))<v_p(f(k'))\leq v_p(f(k))+m.


Các bạn có thể xem đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 ở https://nttuan.org/2017/01/01/topic-850/

1 thought on “Đề thi chọn đội tuyển Trung Quốc tham dự IMO 2017 (China TST 2017) – Phần 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s