Vietnam TST 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho 44 cái lỗ trên một cái rãnh là một đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên 1 cái lỗ và đi đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và |T| \le 45. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương n, đặt x_n = C_{2n}^n.

a) Chứng minh rằng nếu \dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k với k là số nguyên dương nào đó thì x_n là bội của 2017. b) Tìm tất cả số nguyên dương h > 1 để tồn tại các số nguyên dương N,T sao cho với mọi n>N thì x_n là dãy số tuần hoàn theo modulo h với chu kỳ T.

Bài 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I)(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi I_b, I_c lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm I_bE, I_cF. Giả sử (PAC) cắt AB tại R(QAB) cắt AC tại S.

a) Chứng minh rằng PR, QS, AI đồng quy.

b) DE, DF lần lượt cắt I_bI_c tại K, J. EJ cắt FK tại MPE, QF cắt (PAC),(QAB) lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng BY, CX, AM đồng quy.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm A di động trên (O) sao cho AB > BCM là trung điểm AC. Đường tròn đường kính BM cắt (O) tại R. Giả sử RM cắt (O) tại Q, cắt BC tại P. Đường tròn đường kính BP cắt AB, BO lần lượt tại K, S.

a) Chứng minh rằng SR đi qua trung điểm KP.

b) Gọi N là trung điểm BC. Trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AN, BM cắt SR tại E. Chứng minh rằng ME đi qua một điểm cố định.

Bài 5. Cho 2017 số thực dương a_1,a_1,...,a_{2017}. Với mỗi n>2017, ta đặt a_n=\max \{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}|i_1+i_2+i_3=n,1 \le i_1 \le i_2 \le i_3 \le n-1 \}. Chứng minh rằng tồn tại m nguyên dương không vượt quá 2017N >4m sao cho a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2 với mọi n>N.

Bài 6. Với mỗi số nguyên dương n, xét a_1,a_2, \ldots, a_{2n} là hoán vị của 2n số nguyên dương đầu tiên. Một hoán vị như thế được gọi là đẹp nếu với mọi 1 \le i < j \le 2n thì a_i+a_{n+i}=2n+1a_i-a_{i+1} không đồng dư với a_j-a_{j+1} theo modulo 2n+1. Quy ước a_{2n+1}=a_1.

a) Với n=6, hãy chỉ ra một hoán vị đẹp.

b) Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì luôn tồn tại một hoán vị đẹp.

One thought on “Vietnam TST 2017”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s