International Zhautykov Olympiad 2017


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho ABC là một tam giác không cân với đường tròn ngoại tiếp \omegaH,  M lần lượt là trực tâm và trung điểm của AB. Gọi P,Q là các điểm trên cung AB của \omega không chứa C sao cho \angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ. Gọi R,S lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên CQ,CP. Chứng minh rằng các điểm P,Q,R,S cùng nằm trên một đường tròn tâm M.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số  f:R \rightarrow R sao cho

(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x)),\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 3. Một bảng ô vuông hình chữ nhật được chia thành các domino. Chứng minh rằng có thể tô màu tất cả các đỉnh của các ô vuông đơn vị bởi một trong ba màu sao cho với mỗi hai đỉnh kề nhau, điều kiện sau được thỏa mãn: chúng khác màu nếu đoạn thẳng đi qua hai đỉnh nằm trên biên của hai domino và cùng màu nếu đoạn thẳng nối hai điểm nằm trong một domino.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho (a_n) là một dãy các số nguyên dương sao cho k số hạng đầu a_1,a_2,...,a_k là các số nguyên dương phân biệt, và với mỗi n>k, số a_n là số nguyên dương nhỏ nhất không thể biểu diễn như tổng của một vài số (có thể một) trong a_1,a_2,...,a_{n-1}. Chứng minh rằng với mỗi n đủ lớn ta có

a_n=2a_{n-1}.

Bài 5. Với mỗi số nguyên dương k kí hiệu C(k) là tổng các ước nguyên tố của nó. Ví dụ C(1)=0,C(2)=2,C(45)=8. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C(2^n+1)=C(n).

Bài 6. Cho ABCD là một tứ diện đều và M, N là các điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng AM \cdot AN + BM \cdot BN + CM \cdot CN \geq DM \cdot DN.

2 thoughts on “International Zhautykov Olympiad 2017”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s