Kiểm tra tháng 1/2017


Dành cho các bạn học sinh lớp 9.

Bài 1.

1) Cho các số thực a,bc thỏa mãn a^2-b^2=4c^2. Chứng minh rằng (5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2.

2) Cho x,yz là các số thực thoả mãn

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(x+y-2z)^2+(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

3) Chứng minh rằng nếu x,yz là các số thực có tổng bằng 0 thì 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2).

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n^4+4 là số nguyên tố.

2) Cho các số nguyên dương a,b,cd thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng số a^{3}+b^3+c^3+d^3 không phải là số nguyên tố.

3) Cho hai số hữu tỷ p<q. Hỏi có bao nhiêu số nguyên z thỏa mãn p\leq z\leq q?

Bài 3. Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định không nằm trên d. Gọi BC là hai điểm di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCD là giao điểm của hai đường thẳng AIBC. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt AJ.

1) Chứng minh JI^2=JD.JA;

2) Gọi E là tâm của đường tròn đi qua hai điểm A,D và tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên EBN là hình chiếu vuông góc của D trên EC. Chứng minh các điểm B,I,C,MN cùng nằm trên một đường tròn;

3) Gọi K là điểm đối xứng với I qua BC. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC tại hai điểm phân biệt IG. Chứng minh đường thẳng GK luôn đi qua một điểm cố định khi  BC di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s