Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)


Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực (a_n) thỏa mãn a_1=1007a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* sao cho

\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm (x_1,y_1),(x_2,y_2),... sao cho với mọi dãy b_1,b_2,... các số thực, tồn tại P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y] thỏa mãn điều kiện \forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.

Hình học

Bài 4. Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK\perp AD.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi E,E là hai điểm trên AB,AC tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của BC bằng nhau. Gọi P là giao điểm thứ hai của (ABC)(AEF). Các tiếp tuyến tại E,F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh \angle KPA = 90^{\circ}.

Bài 6. Cho tam giác ABC với các đường cao AD,BE,CF. Hạ các đoạn vuông góc FA_{1},DB_{1},EC_{1} đến BC,AC,AB tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_{1}B_{1}C_{1}.

Số học

Bài 7. Cho F là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và P(x) \in \mathbb Z[X] thỏa mãn: Với mọi a,b\in F, ta có a+b \in F\gcd(P(a),P(b))=1. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói P(x)\in Z[x]tốt nếu có vô hạn số nguyên tố q sao cho tập \{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\} có ít nhất \dfrac{q+1}{2} phần tử. Chứng minh x^3+x là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương ađẹp theo modulo m nếu \gcd (a,m)=1 và tồn tại số nguyên dương x sao cho x^x \equiv a \pmod m. Cho a là đẹp theo modulo n^n. Chứng minh a cũng là đẹp theo modulo n^{n^n}.

Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị p của \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} sao cho tồn tại duy nhất i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} thỏa mãn p(p(i)) \geq i.

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ 7\times 7 thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.24 robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn 70^{\circ}. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

Đại số

Bài 13. Cho P(x) \in \mathbb {Z}[X] có bậc 2016 và không có nghiệm hữu tỷ. Chứng minh rằng tồn tại T(x) \in \mathbb {Z}[X] có bậc 1395 sao cho với mỗi hai nghiệm phân biệt \alpha,\beta (không cần thực) của P(x) ta có T(\alpha)-T(\beta) \not \in \mathbb {Q}.

Bài 14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \displaystyle \frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geq \frac {2}{a+b+c}.

Bài 15. Tìm tất cả các hàm số f:(0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty) sao cho với mỗi hai số thực dương x,y ta có f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy).

Hình học

Bài 16.  Cho tam giác ABCw là một đường tròn qua B,C cắt AB,AC lần lượt tại E,F. BF,CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại B',C'. Gọi A' là điểm trên BC sao cho \angle C'A'B=\angle B'A'C. Chứng minh rằng khi w thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C' luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và I_a là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh A của tam giác ABC. Các tiếp tuyến của (O) tại C,B cắt phân giác của góc A lần lượt tại M,N. Các tiếp tuyến thứ hai qua M,N của (O) tiếp xúc với nó lần lượt tại X,Y. Chứng minh rằng XYII_a nội tiếp.

Bài 18. Cho tam giác ABCD,E,F lần lượt là chân các phân giác qua A,B,C. Lấy các điểm M,N trên EF sao cho AM=AN. Gọi H chân đường cao qua A của tam giác ABC. Các điểm K,L nằm trên EF sao cho các tam giác AKL,HMN đồng dạng và AK \not\parallel HM, AK \not\parallel HN. Chứng minh rằng DK=DL.

Số học

Bài 19. Cho p,q là các số nguyên tố với q lẻ. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên x sao cho q |(x+1)^p-x^p\Leftrightarrow q \equiv 1 \pmod{p}.

Bài 20. Một hàm số được gọi là đặc biệt nếu nó có dạng a^{f(x)}, với a là số nguyên dương và f(x) \in \mathbb{Z}[X] thỏa mãn f(n)>0 với mọi số nguyên dương n. Một hàm được gọi là đa thức lũy thừa nếu nó là tích hay tổng của các tích của một số hữu hạn các hàm đặc biệt, chẳng hạn 2^{x}3^{x^{2}+x-1}+5^{2x}. Chứng minh rằng không có hàm đa thức lũy thừa khác không f(x)P(x)\in \mathbb{Z}[X] khác hằng sao cho với mỗi số nguyên dương n ta có P(n)|f(n).

Bài 21. Dãy P=\left \{ a_{n} \right \} được gọi là một hoán vị của tập các số nguyên dương nếu mọi số nguyên dương đều xuất hiện đúng một lần trong nó. Định nghĩa S_k(P)=S_k(P)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}. Chứng minh rằng tồn tại dãy vô hạn các hoán vị của tập các số nguyên dương P_1,P_2, \cdots sao cho chúng đôi một khác nhau và \forall k,\quad \forall i<j: S_k(P_i)|S_k(P_j).

Tổ hợp

Bài 22. Trong một cuộc bầu cử, có 1395 ứng cử viên và một số cử tri. Mỗi cử tri sắp xếp tất cả các ứng cử viên theo thứ tự ưu tiên. Ta có một graph có hướng với 1395 đỉnh, có một cạnh nối U đến V nếu U có thứ tự cao hơn V trong hơn một nửa số phiếu bầu. (Nếu không, không có cạnh nối U đến V ). Liệu có thể hình thành mọi graph đủ có hướng với 1395 đỉnh?

Bài 23. Cho bảng vuông 100 \times 100. Lúc đầu, mỗi ô đơn vị được viết số 0. Hai người chơi một trò với 200 bước (mỗi người chơi đúng 100 bước). Trong mỗi bước, ta có thể chọn một hàng hoặc một cột và cộng thêm 1 vào mỗi số trên hàng hay cột đã chọn \pmod 3. Người chơi đầu tiên thắng nếu có nhiều hơn một nửa trong số các ô vuông có số 1, người chơi thứ hai thắng nếu có nhiều hơn một nửa trong số các ô vuông có số 0. Trong tất cả các trường hợp còn lại, họ hòa nhau. Giả sử rằng cả hai người chơi đều giỏi. Hãy cho biết kết quả của trò chơi.

Bài 24. Cho bảng vuông  30 \times 30 . Ta muốn tô màu một số ô vuông đơn vị sao cho mỗi ô được tô màu có nhiều nhất k ô đơn vị kề với nó cũng được tô màu (hai ô vuông (i, j)(x, y) được gọi là kề nhau nếu i-x, j-y \equiv 0, -1,1 \pmod {30} (i, j) \neq (x , y) , như thế mỗi ô vuông con có đúng 8 ô kề với nó). Hỏi ta có thể tô nhiều nhất bao nhiêu ô nếu

a) k = 6 ;

b) k = 1 .

2 thoughts on “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s