Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)


VMO 2017 sẽ diễn ra vào hai ngày 5 và 6/1/2017. Trong topic này tôi sẽ post đề thi và kết quả.

Hôm nay là 3/1/2017, hai hôm nữa tôi sẽ post đề thi ở đây. 😛

ĐỀ THI

vmo-2017-day-1

vmo-2017-day-2

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho số thực a và dãy (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi

\displaystyle u_1=a,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac{1}{4}},\quad\forall n\geq 1.

1) Khi a=5, chứng minh dãy số (u_n)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó;

2) Tìm tất cả a để dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định và có giới hạn hữu hạn.

Bài 2. Tồn tại hay không P(x)\in\mathbb{Z}[x] thỏa mãn P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2}P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5}.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABCE,F lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh B,C; AH cắt lại (O) tại D

a) Gọi I là trung điểm của AH; EI cắt BD tại MFI cắt CD tại N. Chứng minh rằng MN\bot OH;

b) DE,DF cắt lại (O) lần lượt tại P,Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại (O),AO lần lượt tại R,S. Chứng minh BP,CQRS đồng quy.

Bài 4. Cho số nguyên n>1. Bảng vuông ABCD kích thước n\times n gồm n^2 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong ba màu: đen, trắng, xám. Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm thuộc AC được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được tô cùng màu đen hoặc trắng. Người ta điền vào mỗi ô xám số 0, mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm. Một cách điền như vậy được gọi là k-cân đối (với k là một số nguyên dương) nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) Mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn [-k;k];

2) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

a) Với n=5, tìm giá trị nhỏ nhất của k để tồn tại cách điền số k-cân đối cho cách tô đối xứng ở hình dưới đây (X=Xám, Đ=Đen, T=Trắng):

vmo2017p4b) Với n=2017, tìm giá trị nhỏ nhất của k để với mọi cách tô đối xứng, tồn tại cách điền số k-cân đối.

Ngày thứ hai

Bài 5. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(xf(y)-f(y))=2f(x)+xy,\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 6. Chứng minh rằng

a) \displaystyle\sum_{k=1}^{1008}kC^k_{2017}\equiv 0\pmod{2007^2};

b) \displaystyle\sum_{k=1}^{504}(-1)^kC^k_{2017}\equiv 3(2^{2016}-1)\pmod{2007^2}.

Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O)G là điểm thuộc cung BC không chứa O của đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác OBC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABG cắt lại AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACG cắt lại AB tại F.

a) Gọi K=BE\cap CF. Chứng minh AK, BC,OG đồng quy;

b) Gọi D là một điểm thuộc cung BC chứa O của (I), GB\cap CD=M, GC\cap BD=N. Giả sử MN cắt (O) tại hai điểmP,Q. Chứng minh khi G thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua hai điểm cố định.

KẾT QUẢ

Nhất:>=27,5; Nhì: 22,5-27, Ba: 18-22, KK: 14-17.5. Điểm tham gia vòng 2: 23.

Đây là file tổng hợp của các đội: Danh sach 2017

Kết quả của đội Hà Nội: hanoi2017

Kết quả của đội Quảng Ninh:quangninh2017

Danh sách các thí sinh tham gia TST (với số điểm từ 23.0 trở lên):
Nguồn: Lê Phúc Lữ (mathscope)
Bà Rịa Vũng Tàu:
1) Phạm Thị Hồng Nhung: 24.5
2) Hoàng Hữu Quốc Huy: 31 (nhất)
Bắc Giang:
3) Vương Đình Ân: 23.5
Bình Định:
4) Lê Bá Thành: 23.5
Đà Nẵng:
5) Lê Phước Định: 29.5 (nhất)
ĐakLak:
6) Trương Ngọc Huy: 23.0
Đồng Tháp:
7) Đỗ Hoàng Việt: 24.0
Gia Lai:
8) Nguyễn Ngọc Anh Khoa: 24.0
Hà Nam:
9) Phạm Tiến Khoa: 27.5 (nhất)
Hà Nội:
10) Nguyễn Đăng Khôi: 27.5 (nhất)
11) Nguyễn Hoàng Tùng Lâm: 27.5 (nhất)
12) Mai Đặng Quân Anh: 24.0
13) Phạm Nam Khánh: 30 (nhất)
Hà Tĩnh:
14) Trần Hữu Hiếu: 23.0
15) Trần Đình Hùng: 27.0
16) Nguyễn Văn Nghĩa: 23.0
17) Nguyễn Thanh Nhã: 25.0
18) Phan Nhật Duy: 25.0
Hải Dương:
19) Nguyễn Tuấn Hiệp: 23.5
Hải Phòng:
20) Trần Việt Hoàng: 24.5
Hưng Yên:
21) Trương Quang Khánh: 24.0
Nam Định:
22) Trần Thị Hà: 27.0
23) Nguyễn Hoàng Huy: 23.5
Nghệ An:
24) Cao Hữu Đạt: 25.0
25) Nguyễn Hồng Quốc Khánh: 24.0
26) Nguyễn Văn Huy: 26.5
27) Trần Nguyên Lân: 26.5
28) Nguyễn Cảnh Hoàng: 27.0
29) Nguyễn Đức Bảo: 26.0
30) Nguyễn Đình Hoàng: 23.5
31) Phan Đức Tiến: 23.5
32) Hoàng Văn Nam: 23.0
Phú Thọ
33) Nguyễn Thành Đạt: 24.0
34) Nguyễn Tiến Long: 24.5
Quảng Nam
35) Trương Công Cường: 24.5
Quảng Ngãi:
36) Đoàn Cao Khả: 23.5
Quảng Ninh:
37) Nguyễn Việt Dũng: 25.5
Thanh Hóa:
38) Lê Quang Dũng: 32.0 (nhất)
TPHCM:
39) Nguyễn Doãn Hoàng Lâm: 25.5
Vĩnh Phúc:
40) Đỗ Văn Quyết: 26.0
41) Cao Phương Nam: 23.0
KHTN Hà Nội:
42) Hoàng Trung Dũng: 24.5
43) Đinh Công Duy: 24.0
44) Nguyễn Trọng Phúc: 32.0 (nhất)
45) Cao Tiến Thành: 25.5
PTNK TPHCM:
46) Đỗ Hoàng Tùng: 27.0
ĐH Vinh:
47) Lê Ngọc Trường Giang: 27.0
48) Đặng Lâm San: 24.5

Ngoài ra, có thí sinh số 49) Phạm Nguyễn Mạnh, HCB IMO 2016 sẽ được đặc cách VMO để tham gia trực tiếp kỳ thi TST này.

2 thoughts on “Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s