Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số \{u_{n}\}, \{v_{n}\} xác định bởi u_{0} =u_{1} =1 ,u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} (n\geq 2)v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương N sao cho với n> N ta có u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng 3a=2b+c.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với \odot O là đường tròn ngoại tiếp và \odot I là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại B,C của \odot O cắt nhau tại L, \odot I tiếp xúc với BC tại D. AY vuông góc với BC tại Y, AO cắt BC tại X, và OI cắt \odot O tại P,Q. Chứng minh P,Q,X,Y cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi A,D,L là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật R được phân hoạch thành 2016 hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của R. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của R nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên n \geq 2. Với hai hoán vị \alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)\beta = (b_1,b_2,\cdots,b_n) của [n], nếu tồn tại số nguyên k \leq n sao cho

b_i = \begin{cases} a_{k+1-i}, & \text{ }1 \leq i \leq k; \\ a_i, & \text{} k < i \leq n, \end{cases} thì ta nói \alpha là một bạn của \beta. Chứng minh rằng có thể đánh số tất cả các hoán vị của [n] như P_1,P_2,\cdots,P_m sao cho với mỗi i = 1,2,\cdots,m, P_{i+1} là một bạn của P_i, ở đây m = n!P_{m+1} = P_1.

Bài 5. Gọi D_n là tập các ước dương của số nguyên dương n. Tìm tất cả các số nguyên dương n để có thể phân hoạch D_n thành hai tập AG sao cho mỗi tập có ít nhất 3 phần tử, các phần tử trong A lập thành một cấp số cộng và các phần tử trong G lập thành một cấp số nhân.

Bài 6. Cho số nguyên n \geq 2 và hai số thực dương a<b.

Xét các số x_1,x_2,\cdots ,x_n\in [a,b], tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\displaystyle \frac{\frac{x^2_1}{x_2}+\frac{x^2_2}{x_3}+\cdots+\frac{x^2_{n-1}}{x_n}+\frac{x^2_n}{x_1}}{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n}.

One thought on “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s