Ngày thứ nhất
Bài 1. Hai dãy số ,
xác định bởi
,
,
,
. Giả sử có số nguyên dương
sao cho với
ta có
. Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho tam giác nhọn với
là đường tròn ngoại tiếp và
là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại
của
cắt nhau tại
,
tiếp xúc với
tại
.
vuông góc với
tại
,
cắt
tại
, và
cắt
tại
. Chứng minh
cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
là thẳng hàng.
Bài 3. Một hình chữ nhật được phân hoạch thành
hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của
. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của
nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản.
Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số nguyên . Với hai hoán vị
và
của
, nếu tồn tại số nguyên
sao cho
thì ta nói
là một bạn của
. Chứng minh rằng có thể đánh số tất cả các hoán vị của
như
sao cho với mỗi
,
là một bạn của
, ở đây
và
.
Bài 5. Gọi là tập các ước dương của số nguyên dương
. Tìm tất cả các số nguyên dương
để có thể phân hoạch
thành hai tập
và
sao cho mỗi tập có ít nhất
phần tử, các phần tử trong
lập thành một cấp số cộng và các phần tử trong
lập thành một cấp số nhân.
Bài 6. Cho số nguyên và hai số thực dương
.
Xét các số , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
One thought on “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”