Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)

Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số $\{u_{n}\}$ , $\{v_{n}\}$ xác định bởi $u_{0} =u_{1} =1$ , $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq 2)$ , $v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ , $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq 3)$ . Giả sử có số nguyên dương $N$ sao cho với $n> N$ ta có $u_{n}|v_{n}$ . Chứng minh rằng $3a=2b+c$ .

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ với $\odot O$ là đường tròn ngoại tiếp và $\odot I$ là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $\odot O$ cắt nhau tại $L$ , $\odot I$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . $AY$ vuông góc với $BC$ tại $Y$ , $AO$ cắt $BC$ tại $X$ , và $OI$ cắt $\odot O$ tại $P,Q$ . Chứng minh $P,Q,X,Y$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi $A,D,L$ là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật $R$ được phân hoạch thành $2016$ hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của $R$ . Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của $R$ nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên $n \geq 2$ . Với hai hoán vị $\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ và $\beta = (b_1,b_2,\cdots,b_n)$ của $[n]$ , nếu tồn tại số nguyên $k \leq n$ sao cho

$b_i = \begin{cases} a_{k+1-i}, & \text{ }1 \leq i \leq k; \\ a_i, & \text{} k < i \leq n, \end{cases}$ thì ta nói $\alpha$ là một bạn của $\beta$ . Chứng minh rằng có thể đánh số tất cả các hoán vị của $[n]$ như $P_1,P_2,\cdots,P_m$ sao cho với mỗi $i = 1,2,\cdots,m$ , $P_{i+1}$ là một bạn của $P_i$ , ở đây $m = n!$ và $P_{m+1} = P_1$ .

Bài 5. Gọi $D_n$ là tập các ước dương của số nguyên dương $n$ . Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để có thể phân hoạch $D_n$ thành hai tập $A$ và $G$ sao cho mỗi tập có ít nhất $3$ phần tử, các phần tử trong $A$ lập thành một cấp số cộng và các phần tử trong $G$ lập thành một cấp số nhân.

Bài 6. Cho số nguyên $n \geq 2$ và hai số thực dương $a<b$ .

Xét các số $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in [a,b]$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$\displaystyle \frac{\frac{x^2_1}{x_2}+\frac{x^2_2}{x_3}+\cdots+\frac{x^2_{n-1}}{x_n}+\frac{x^2_n}{x_1}}{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n}.$

One thought on “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”

M	T	W	T	F	S	S
« Dec				Feb »
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

	Mai Phương on Phương trình bậc hai và một số…
	Đề thi chọn đội tuyể… on Đề thi chọn đội tuyển Trung Qu…
	Đề thi chọn đội tuyể… on Đề thi chọn đội tuyển Trung Qu…
	hg on Phương trình bậc hai và một số…
	Duc Nguyen on Bài tập mở đầu về Phương trình…
	Hoàng Anh on Đề chọn đội VMO 2018
	IMO 2017 training (2… on IMO 2017 training (1)
	Nguyen Trung Tuan on Một số sách nên đọc đối với họ…
	Nam on Một số sách nên đọc đối với họ…
	IMO 2016 Shortlist –… on IMO 2016 Shortlist – Comb…

Share this:

Like this:

Related

One thought on “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”

Leave a Reply Cancel reply