VMO training 2017 – Part 5


Các bạn có thể xem phần trước ở https://nttuan.org/2017/01/06/topic-852/


Trong bài viết này tôi sẽ giới thiệu một số lời giải của bài toán sau: Cho (s_n)_{n\geq 1}(t_n)_{n\geq 1} là hai dãy các số hữu tỷ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) (s_n)_{n\geq 1}(t_n)_{n\geq 1} không phải là dãy hằng;

2) \forall i,j\in\mathbb{N}^*,\quad (s_i-s_j)(t_i-t_j)\in\mathbb{Z}.

Chứng minh rằng tồn tại số hữu tỷ r sao cho r(s_i-s_j)\in\mathbb{Z}\dfrac{t_i-t_j}{r}\in\mathbb{Z},\quad\forall i,j\in\mathbb{N}^*.

Đây là bài toán số 6 trong đề thi chọn HSG QG của Mĩ năm 2009 (USAMO 2009).

Lời giải 1. Ta có ba nhận xét sau:

1) Nếu \sigma:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^* là một song ánh thì hai dãy (s_{\sigma(n)})_{n\geq 1}(t_{\sigma(n)})_{n\geq 1} cũng thỏa mãn các giả thiết của bài toán;

2) Nếu s,t là các số hữu tỷ thì hai dãy (s_{n}+s)_{n\geq 1}(t_{n}+t)_{n\geq 1} cũng thỏa mãn các giả thiết của bài toán.

3) Tồn tại cặp chỉ số (i,j) sao cho (s_i-s_j)(t_i-t_j)\not=0.

Thật vậy, do dãy (s_i) không phải dãy hằng nên tồn tại (i,j) sao cho s_i\not=s_j. Nếu t_i\not=t_j thì (i,j) là cặp phải tìm. Nếu t_i=t_j, ta chọn k sao cho t_k\not=t_i, khi s_k=s_i ta chọn (j,k), khi s_k\not=s_i ta chọn (k,i).

Trở lại bài toán.

Bởi các nhận xét trên ta có thể giả sử s_1=t_1=0,s_2\not=0t_2\not=0.

Ta sẽ chứng minh tồn tại các số hữu tỷ dương  A,B sao cho AB, As_jBt_j là các số nguyên với mọi j.

Với mọi i,j ta có (s_i-s_1)(t_i-t_1)=s_it_i(s_i-s_j)(t_i-t_j)=s_it_i+s_jt_j-(s_it_j+s_jt_i), suy ra s_it_is_it_j+s_jt_i là các số nguyên. Viết s_j,t_j dưới dạng tối giản ta được \displaystyle s_j=\frac{p_j}{q_j},t_j=\frac{u_j}{v_j},\quad\forall j. Theo trên ta có s_2t_j+s_jt_2 là số nguyên với mọi j, suy ra với mọi j ta có q_j|u_2q_2. Chọn A=|q_2u_2|>0 ta có As_j là số nguyên với mọi j. Tương tự ta cũng tìm được số nguyên dương B sao cho Bt_j là số nguyên với mọi j.

Chọn cặp (A,B) như trên sao cho AB nhỏ nhất, ta thấy AB phải bằng 1 và khi đó bài toán sẽ được giải. Thật vậy, nếu AB>1 thì nó có ước nguyên tố p, suy ra ABs_jt_j=(As_j)(Bt_j) chia hết cho p với mọi j, do đó với mọi j thì As_j hoặc Bt_j sẽ chia hết cho p. Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: p chia hết As_j với mọi j.

Ta thấy cặp (A/p,B) cũng thỏa mãn và có tích bằng \dfrac{AB}{p}<AB, vô lí.

Trường hợp 2: Tồn tại j để p không chia hết As_j.

Khi đó ta có Bt_j chia hết cho pBt_i không chia hết cho p với i nào đấy (do cách chọn (A,B)), suy ra AB(s_it_j+s_jt_i)-(As_i)(Bt_j)=(As_j)(Bt_i) không chia hết cho p, vô lí.

Lời giải 2. Đây là lời giải của Paul Christiano, huy chương Bạc tại IMO 2008.

Ta cho các số hữu tỷ trong lời giải này đều ở dạng tối giản.

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s_1=t_1= 0, t_2\not=0s_2 = 1. Khi đó t_2=k là số nguyên (vì (s_2 - s_1)(t_2 - t_1) là số nguyên), và

(s_i - 1)(t_i - k) = s_it_i + k - (t_i + ks_i) \in \mathbb{Z},\quad i\in\mathbb{N}^*.s_it_i = (s_i - 0)(t_i - 0) = (s_i - s_1)(t_i - t_1)\in\mathbb{Z},\quad\forall i\in\mathbb{N}^*, suy ra t_i + ks_i \in \mathbb{Z},\quad \forall i\in\mathbb{N}^*. Ta thấy ks_i phải là số nguyên với mọi số nguyên dương i, thật vậy nếu tồn tại số nguyên dương i sao cho ks_i \not\in \mathbb{Z} thì mẫu của s_i có ước nguyên tố p không chia hết k, suy ra t_i+ks_i không phải là số nguyên vì mẫu của t_i cũng không chia hết cho p (do s_it_i là số nguyên), vô lí. Từ đó ta có t_i \in \mathbb{Z} với mỗi số nguyên dương i.

Nếu cần thì chia các số hạng của dãy (t_i) cho cùng một số nguyên dương và nhân các số hạng của dãy (s_i) với số nguyên dương đó, ta có thể coi ước chung lớn nhất của tất cả các số hạng của dãy (t_i) bằng 1, và tất nhiên, vẫn có số nguyên k\not=0 thỏa mãn ks_i\in\mathbb{Z} với mọi số nguyên dương i.

Ta sẽ chứng minh rằng s_i\in\mathbb{Z} với mọi số nguyên dương i, và khi đó bài toán sẽ được giải hoàn toàn. Thật vậy, giả sử tồn tại số nguyên dương i sao cho s_i không phải là số nguyên. Khi đó có số nguyên tố p là ước của mẫu của s_i. Gọi j là số nguyên dương thỏa mãn p không chia hết t_j (tồn tại j như thế vì ước chung lớn nhất của các t_n bằng 1). Vì s_it_i là số nguyên nên p chia hết t_i, do đó t_i - t_j không chia hết cho p. Vì s_jt_j là số nguyên và p không chia hết t_j nên p không chia hết mẫu của s_j, do đó s_i - s_j có mẫu không chia hết cho p. Nhưng khi đó (s_i - s_j)(t_i-t_j) có mẫu chia hết cho p, và bởi thế nó không phải là số nguyên, vô lí.

Continue reading “VMO training 2017 – Part 5”

Kiểm tra tháng 1/2017


Dành cho các bạn học sinh lớp 9.

Bài 1.

1) Cho các số thực a,bc thỏa mãn a^2-b^2=4c^2. Chứng minh rằng (5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2.

2) Cho x,yz là các số thực thoả mãn

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=(x+y-2z)^2+(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

3) Chứng minh rằng nếu x,yz là các số thực có tổng bằng 0 thì 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2).

Bài 2.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n^4+4 là số nguyên tố.

2) Cho các số nguyên dương a,b,cd thỏa mãn ab=cd. Chứng minh rằng số a^{3}+b^3+c^3+d^3 không phải là số nguyên tố.

3) Cho hai số hữu tỷ p<q. Hỏi có bao nhiêu số nguyên z thỏa mãn p\leq z\leq q?

Bài 3. Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định không nằm trên d. Gọi BC là hai điểm di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCD là giao điểm của hai đường thẳng AIBC. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt AJ.

1) Chứng minh JI^2=JD.JA;

2) Gọi E là tâm của đường tròn đi qua hai điểm A,D và tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên EBN là hình chiếu vuông góc của D trên EC. Chứng minh các điểm B,I,C,MN cùng nằm trên một đường tròn;

3) Gọi K là điểm đối xứng với I qua BC. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC tại hai điểm phân biệt IG. Chứng minh đường thẳng GK luôn đi qua một điểm cố định khi  BC di động trên d sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn và AB<AC.

Tính rời rạc của tập số nguyên (2)


Các bạn có thể xem phần đầu ở https://nttuan.org/2016/12/15/topic-845/

Bài 8. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=2.

Bài 9. Cho x,yn là các số nguyên dương thỏa mãn \dfrac{xy}{x+y}>n. Chứng minh rằng \dfrac{xy}{x+y}\geq n+\dfrac{1}{n^2+2n+2}.

Bài 10. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 11. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình

1/. 3(xy+yz+zx)=4xyz;

2/. xy+yz+zx-xyz=2;

3/. (x+y)^2+3x+y+1=z^2;

4/. x^2+y^2+z^2+w^2=3(x+y+z+w).

Bài 12. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (x+1)^4-(x-1)^4=y^3.

Bài 13. Cho các số nguyên a\in\{3,4,5\}, b\in\{4,5,\cdots,12\}c\in\{1,2,\cdots,8\}. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^6+ax^4+bx^2+c=y^3.

Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (2)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)


Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực (a_n) thỏa mãn a_1=1007a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* sao cho

\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm (x_1,y_1),(x_2,y_2),... sao cho với mọi dãy b_1,b_2,... các số thực, tồn tại P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y] thỏa mãn điều kiện \forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.

Hình học

Bài 4. Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK\perp AD.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi E,E là hai điểm trên AB,AC tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của BC bằng nhau. Gọi P là giao điểm thứ hai của (ABC)(AEF). Các tiếp tuyến tại E,F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh \angle KPA = 90^{\circ}.

Bài 6. Cho tam giác ABC với các đường cao AD,BE,CF. Hạ các đoạn vuông góc FA_{1},DB_{1},EC_{1} đến BC,AC,AB tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_{1}B_{1}C_{1}.

Số học

Bài 7. Cho F là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và P(x) \in \mathbb Z[X] thỏa mãn: Với mọi a,b\in F, ta có a+b \in F\gcd(P(a),P(b))=1. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói P(x)\in Z[x]tốt nếu có vô hạn số nguyên tố q sao cho tập \{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\} có ít nhất \dfrac{q+1}{2} phần tử. Chứng minh x^3+x là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương ađẹp theo modulo m nếu \gcd (a,m)=1 và tồn tại số nguyên dương x sao cho x^x \equiv a \pmod m. Cho a là đẹp theo modulo n^n. Chứng minh a cũng là đẹp theo modulo n^{n^n}.

Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị p của \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} sao cho tồn tại duy nhất i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} thỏa mãn p(p(i)) \geq i.

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ 7\times 7 thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.24 robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn 70^{\circ}. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)”

Problems From the Book


Tôi giới thiệu với các bạn chuẩn bị tham dự kì thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam tham dự IMO (Vietnam TST) hai cuốn sách sau đây:

1) “Problems From the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “The authors provide a combination of enthusiasm and experience which will delight any reader. In this volume they present innumerable beautiful results, intriguing problems, and ingenious solutions. The problems range from elementary gems to deep truths. A trully delightful and highly instructive book, this will prepare the engaged reader not only for any mathematics competition they may enter but also for a life time of mathematical enjoyment. A must for the bookshelves of both aspiring and seasoned mathematicians.”

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book.

2) “Straight from the Book” của Titu Andreescu và Gabriel Dospinescu.

Cuốn 1) có rất nhiều bài tập về nhà, và nhiều bài rất khó. Cuốn 2) sẽ có lời giải của hầu hết các bài tập về nhà trong 1). Đây là đoạn mô tả trên trang của nhà xuất bản XYZ: “This book is a compilation of many suggestions, much advice, and even more hard work. Its main objective is to provide solutions to the problems which were originally proposed in the first 12 chapters of “Problems from the Book”. The volume is far more than a collection of solutions. The solutions are used as motivation for the introduction of some very clear expositions of mathematics. And this is modern, current, up-to-the-minute mathematics. This is absolutely state-of-the-art material. Everyone who loves mathematics and mathematical thinking should acquire this book.”

Editorial Reviews

(Đoạn này được lấy từ amazon. )

This is an exceptionally well-written book. The material is arranged in small chapters, with brief theory in the beginning of each chapter followed by a set of exceptionally difficult problems with solutions. These solutions are elegant, innovative and beautiful. You learn a lot from the solutions. In every page, you will discover one or more clever steps/tricks that will make you wonder “How come I could not think of that?”. If you are preparing for Mathematics Olympiads, working through this book will boost your confidence 100 fold. If you are a math enthusiast, you will enjoy the material – most of it is “Mathematical poetry”. Grab it before it gets sold out! –Dr S Muralidharan

Problems from the Book is rife with elegant mathematical pursuits that are well worth the effort of exploring and solving. For high schoolers up through University students, the book’s problems will illustrate important concepts and provide hours of fun at every sitting. –David Cordeiro

This book is a treasure of the mathematical gems: many many very nice problems and results, historic notes and useful comments. Readers will also find many very interesting original problems from the authors of the book and from others. If you want to develop your mathematical skills in problem solving and your knowledge in diverse mathematical branches, you will definitely find many instructive topics throughout this book. Many thanks to Prof. Andreescu and his colleagues for their invaluable books and problems. I do highly recommend this book and all other books by Prof. Andreescu to all mathematics lovers: from the pupils preparing to participate in mathematical contests to people searching excitement in mathematics. The book contains the following 23 chapters, in addition to preface, bibliography and index: 1. Some Useful Substitutions 2. Always Cauchy-Schwarz … 3. Look at the Exponent 4. Primes and Squares 5. T2’s Lemma 6. Some Classical Problems in Extremal Graph theory 7. Complex Combinatorics 8. Formal Series Revisited 9. A Brief Introduction to Algebraic Number Theory 10. Arithmetic Properties of Polynomials 11. Lagrange Interpolation Formula 12. Higher Algebra in Combinatorics 13. Geometry and Numbers 14. The Smaller, The Better 15. Density and Regular Distribution 16. The Digit Sum of Positive Integer 17. At the Border of Analysis and Number Theory 18. Quadratic Reciprocity 19. Solving Elementary Inequalities Using Integrals 20. Pigeonhole Principle Revisited 21. Some Useful Irreducibility Criteria 22. Cycles, Paths and Other Ways 23. Some Special Applications of Polynomials –H. A. Shah Ali.

Bạn mua từ nhà xuất bản hoặc tìm E-book. Continue reading “Problems From the Book”

VMO training 2017 – Part 4


Link part 3: https://nttuan.org/2016/12/02/topic-842/


Nội dung: Số học của các hệ số nhị thức, nghịch đảo modulo và giá p-adic của các số hữu tỷ.

Bài 1. Cho p là số nguyên tố lẻ và q=\dfrac{3p-5}{2}. Đặt

\displaystyle S_q=\frac{1}{2\times 3\times 4}+\frac{1}{5\times 6\times 7}+\cdots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)}. Giả sử m,n là các số nguyên nguyên tố cùng nhau sao cho \displaystyle \frac{1}{p}-2S_q=\frac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m-n.

Bài 2. Với mỗi số nguyên tố p>3 ta định nghĩa \displaystyle T_p=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}. Chứng minh rằng khi viết T_p dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho p^2.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p. Với mỗi số nguyên a, định nghĩa \displaystyle S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}. Giả sử m,n \in \mathbb{Z} thỏa mãn S_3 + S_4 - 3S_2 = \dfrac{m}{n}. Chứng minh rằng p chia hết m.

Bài 4. Cho số nguyên tố p\ge 5. Chứng minh rằng \displaystyle\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{p}{k}3^k-2^p+1 chia hết cho p^2. Continue reading “VMO training 2017 – Part 4”

Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)


VMO 2017 sẽ diễn ra vào hai ngày 5 và 6/1/2017. Trong topic này tôi sẽ post đề thi và kết quả.

Hôm nay là 3/1/2017, hai hôm nữa tôi sẽ post đề thi ở đây. 😛

ĐỀ THI

vmo-2017-day-1

vmo-2017-day-2

Continue reading “Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số \{u_{n}\}, \{v_{n}\} xác định bởi u_{0} =u_{1} =1 ,u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} (n\geq 2)v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương N sao cho với n> N ta có u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng 3a=2b+c.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với \odot O là đường tròn ngoại tiếp và \odot I là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại B,C của \odot O cắt nhau tại L, \odot I tiếp xúc với BC tại D. AY vuông góc với BC tại Y, AO cắt BC tại X, và OI cắt \odot O tại P,Q. Chứng minh P,Q,X,Y cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi A,D,L là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật R được phân hoạch thành 2016 hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của R. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của R nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”