Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)


Đại số

Bài 1. Cho dãy số thực (a_n) thỏa mãn a_1=1007a_{i+1}\geq a_i+1\,\,\forall i\in\mathbb{N}^*. Chứng minh rằng

\displaystyle \frac{1}{2016}>\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{a_{i+1}^{2}+a_{i+2}^2}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N}^* sao cho

\forall a,b\in\mathbb{N}^*,\quad (f(a)+b) f(a+f(b))=(a+f(b))^2.

Bài 3. Tồn tại hay không dãy vô hạn điểm (x_1,y_1),(x_2,y_2),... sao cho với mọi dãy b_1,b_2,... các số thực, tồn tại P(x,y)\in \mathbb{R}[x,y] thỏa mãn điều kiện \forall i\in\mathbb{N}^*,\quad P(x_{i},y_{i})=b_{i}.

Hình học

Bài 4. Cho tam giác ABC, P là giao điểm của đường cao qua C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (ABC). Phân giác của góc A cắt BC tại D. PD cắt AB tại K, nếu H là trực tâm của tam giác, chứng minh HK\perp AD.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi E,E là hai điểm trên AB,AC tương ứng sao cho khoảng cách từ chúng đến trung điểm của BC bằng nhau. Gọi P là giao điểm thứ hai của (ABC)(AEF). Các tiếp tuyến tại E,F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh \angle KPA = 90^{\circ}.

Bài 6. Cho tam giác ABC với các đường cao AD,BE,CF. Hạ các đoạn vuông góc FA_{1},DB_{1},EC_{1} đến BC,AC,AB tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A_{1}B_{1}C_{1}.

Số học

Bài 7. Cho F là một tập con của tập các số nguyên dương với ít nhất hai phần tử và P(x) \in \mathbb Z[X] thỏa mãn: Với mọi a,b\in F, ta có a+b \in F\gcd(P(a),P(b))=1. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Bài 8. Ta nói P(x)\in Z[x]tốt nếu có vô hạn số nguyên tố q sao cho tập \{P(n) \pmod{q} | n\in \mathbb{N}^*\} có ít nhất \dfrac{q+1}{2} phần tử. Chứng minh x^3+x là tốt.

Bài 9. Ta nói số nguyên dương ađẹp theo modulo m nếu \gcd (a,m)=1 và tồn tại số nguyên dương x sao cho x^x \equiv a \pmod m. Cho a là đẹp theo modulo n^n. Chứng minh a cũng là đẹp theo modulo n^{n^n}.

Tổ hợp

Bài 10. Tìm số các hoán vị p của \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} sao cho tồn tại duy nhất i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \} thỏa mãn p(p(i)) \geq i.

Bài 11. Liệu có thể chia bảng vuông cỡ 7\times 7 thành một vài phần liên thông có cùng chu vi? (Một nhóm các ô vuông con được gọi là liên thông nếu từ mỗi ô trong nhóm có thể đến các ô khác bằng cách đi qua các cạnh của các ô vuông con).

Bài 12.24 robot trên mặt phẳng, mỗi robot có góc nhìn 70^{\circ}. Có nhiều nhất bao nhiêu quan hệ quan sát? (Quan sát là quan hệ một chiều).

Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Iran năm 2016 – Vòng 3 (Iran MO 2016, 3rd Round)”

Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)


VMO 2017 sẽ diễn ra vào hai ngày 5 và 6/1/2017. Trong topic này tôi sẽ post đề thi và kết quả.

Hôm nay là 3/1/2017, hai hôm nữa tôi sẽ post đề thi ở đây. 😛

ĐỀ THI

vmo-2017-day-1

vmo-2017-day-2

Continue reading “Kỳ thi chọn HSG Quốc gia môn Toán năm 2017 (VMO 2017)”

Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)


Ngày thứ nhất

Bài 1. Hai dãy số \{u_{n}\}, \{v_{n}\} xác định bởi u_{0} =u_{1} =1 ,u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2} (n\geq 2)v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c ,v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3} (n\geq 3). Giả sử có số nguyên dương N sao cho với n> N ta có u_{n}|v_{n}. Chứng minh rằng 3a=2b+c.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC với \odot O là đường tròn ngoại tiếp và \odot I là đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại B,C của \odot O cắt nhau tại L, \odot I tiếp xúc với BC tại D. AY vuông góc với BC tại Y, AO cắt BC tại X, và OI cắt \odot O tại P,Q. Chứng minh P,Q,X,Y cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi A,D,L là thẳng hàng.

Bài 3. Một hình chữ nhật R được phân hoạch thành 2016 hình chữ nhật con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các cạnh của R. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm. Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của R nối hai điểm được gọi là cơ bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn cơ bản. Continue reading “Đề thi chọn HSG Quốc gia của Trung Quốc năm 2017 (China MO 2017)”