VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|.

Bài 7. Cho (s_n)_{n\geq 1}(t_n)_{n\geq 1} là hai dãy các số hữu tỷ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) (s_n)_{n\geq 1}(t_n)_{n\geq 1} không phải là dãy hằng;

2) \forall i,j\in\mathbb{N}^*,\quad (s_i-s_j)(t_i-t_j)\in\mathbb{Z}.

Chứng minh rằng tồn tại số hữu tỷ r sao cho r(s_i-s_j)\in\mathbb{Z}\dfrac{t_i-t_j}{r}\in\mathbb{Z} với mọi i,j\in\mathbb{N}^*.

2 thoughts on “VMO training 2017 – Part 3”

  1. Thấy nhiều người quan tâm quá nên tôi sẽ post 1 lời giải của bài 6.

    Giả sử f là một hàm thoả mãn yêu cầu của bài toán. Ta thấy nó có các tính chất sau đây mà ta sẽ đi chứng minh
    a) Nếu a,b,c,d là các số thực thoả mãn |a-b|<|c-d| thì |f(a)-f(b)|<|f(c)-f(d)|;
    b) f liên tục trên \mathbb{R};
    c) Nếu a,b,c,d là các số thực thoả mãn |a-b|=|c-d| thì |f(a)-f(b)|=|f(c)-f(d)|.

    Nếu a,b,c,d là các số thực như trong a) thì có số nguyên dương n và các số thực x_1,x_2,\cdots,x_{n+1},x_{n+2} sao cho x_1=a,x_2=b,x_{n+1}=c,x_{n+2}=d|x_1-x_2|<|x_2-x_3|<\cdots<|x_{n+1}-x_{n+2}|, dùng giả thiết, tác động f vào dãy này chúng ta có a).

    Giả sử (x_n) là một dãy số thực hội tụ đến số thực x_0\epsilon là một số dương bất kì. Ta thấy là có tồn tại các số thực c,d sao cho |f(c)-f(d)|0 thì với mỗi a thoả mãn |a|<1 ta có |f(a)-f(0)|N ta có |x_n-x_0|<|c-d|, tác động f vào đây ta có |f(x_n)-f(x_0)|N, hay là f(x_n)\to f(x_0), hoặc f liên tục tại x_0. Như thế ta đã chứng minh xong b).

    Nếu có các số thực a,b,c,d như trong c) thì có hai dãy (c_n),(d_n) sao cho c_n\to c,d_n\to d|a-b|=|c-d|<|c_n-d_n|,\quad\forall n\geq 1, cho qua f ở đây ta có |f(a)-f(b)|<|f(c_n)-f(d_n)|,\quad\forall n\geq 1, cho n\to \infty và dùng tính liên tục của f ta có |f(a)-f(b)|\leq |f(c)-f(d)|. Tương tự ta cũng có |f(a)-f(b)|\geq |f(c)-f(d)| và c) được chứng minh.

    Trở lại bài toán, từ tính chất c) chúng ta có f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}\forall x,y\in\mathbb{R}. Khi mà dùng tính liên tục thì đây là bài toán phương trình hàm cơ bản, và chúng ta có đáp số của bài toán là f(x)=ax+b,\quad\forall x\in\mathbb{R}, ở đây a,b là các số thực bất kì chỉ cần a\not = 0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s