VMO training 2017 – Part 2


Link Part 1: https://nttuan.org/2016/11/08/topic-831/


Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi u_1=2

u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy số \left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác 0.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có AC > BC. Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB tại điểm thứ hai E. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với DO cắt BC tại F. Chứng minh rằng H, EF thẳng hàng. 

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho tồn tại đúng một đa thức Q(x) với hệ số thực thỏa mãn Q(0)=0

x+Q(y+P(x))=y+Q(x+P(y)),\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 4. Cho tập hợp S=\{1,2,\cdots,50\}. Xét các số nguyên dương n có tính chất: với mọi tập con Tn phần tử của S, tồn tại ba phần tử t_1,t_2,t_3 của T sao cho t_3^3=t_1^2+t_2^2. Tìm giá trị nhỏ nhất của n.

3 thoughts on “VMO training 2017 – Part 2”

  1. Với Bài 4, khi tham khảo trong https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple tôi cảm giác rằng GTNN của n không vượt quá 42.

    Xét một tập con T của S với |T|=42.

    Gọi A là hợp của 9 tập con đôi một rời nhau: {3,4,5},{17,15,8},{29,21,20},{25,24,7},{34,16,30},{37,35,12},{50,48,14},{41,40,9} và {45,36,27}. Ta có ngay |A|=27 và mỗi khối chứa các thành phần của cùng một bộ ba Pythagore.

    Nếu kí hiệu B=S-A thì |B|=50-27=23 và sẽ có ít nhất 42-23=19>18=2.9 phần tử của T mà thuộc A, do đó 42 là một số n thỏa mãn điều kiện trong đề bài.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s