VMO – Number theory


Trong tài liệu này tôi sẽ tổng hợp các bài toán Số học trong kì thi chọn HSG Quốc gia (VMO).

Việc chia theo môn ở đây chỉ là tương đối, có những bài toán thuộc nhiều môn khác nhau.

Continue reading “VMO – Number theory”

Tính rời rạc của tập số nguyên (1)


Bài 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^3+y^3=(x+y)^2.

Bài 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)=w^2.

Bài 4. Cho số nguyên dương n và bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn

n^2<a<b<c<d<(n+1)^2. Chứng minh rằng ad\not=bc.

Bài 5. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng \left|\sqrt2-\dfrac mn\right|>\dfrac{1}{4n^2}\,\,\forall m\in\mathbb{Z}. Continue reading “Tính rời rạc của tập số nguyên (1)”

Một số trang về Olympic Toán


Tôi có post một số trang về Olympic Toán trên facebook  nhưng nó cứ chìm xuống khi đăng một bài khác, vì thế nên tôi lập topic này để lưu các link đó lại.

P. S. Hãy góp link bằng cách comment các bạn nhé! 🙂

Continue reading “Một số trang về Olympic Toán”

VMO training 2017 – Part 3


Link part 2: https://nttuan.org/2016/12/01/topic-841/


TEST 2, DAY 2

Bài 5. Cho các số nguyên dương ak. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên dương m sao cho ka^m+m chia hết cho n.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

\forall x,y,z\in\mathbb{R},\quad|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|. Continue reading “VMO training 2017 – Part 3”

VMO training 2017 – Part 2


Link Part 1: https://nttuan.org/2016/11/08/topic-831/


Test 2, Day 1

Bài 1. Cho dãy số (u_n)_{n\geq 1} xác định bởi u_1=2

u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\,\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy số \left(\dfrac{u_n^{\alpha}}{n}\right)_{n\geq 1} có giới hạn hữu hạn và giới hạn của nó khác 0.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có AC > BC. Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt AB tại điểm thứ hai E. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với DO cắt BC tại F. Chứng minh rằng H, EF thẳng hàng.  Continue reading “VMO training 2017 – Part 2”