Ôn thi học kì 1 – Lớp 10


DÙNG TÍCH VÔ HƯỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1.  Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,CD. Chứng minh rằng AM\bot BN.

Bài 2. Cho hình thang vuông ABCD với đường cao AD=h và hai đáy AB=a,CD=b.

1) Tìm điều kiện của a,bh để AC\bot BD;

2) Gọi M là trung điểm của BC. Tìm điều kiện của a,bh để AM\bot BD.

Bài 3. Chứng minh rằng với bốn điểm A,B,C,D bất kỳ ta có

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0. Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,AC dựng ra phía ngoài các tam giác ABE,ACF vuông cân tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AI\bot EF.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi BH,CK là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng OA\bot HK.

Bài 6. Cho 4 điểm A,B,CD. Chứng minh rằng AB\bot CD\Leftrightarrow AC^2+BD^2=CB^2+DA^2.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A với O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của ABE là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng OE\bot CD.

Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác khi và chỉ khi \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}.

Bài 9. Cho tứ giác lồi ABCD với X là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H,K tương ứng là trực tâm của các tam giác XAB,XCD. Gọi I,J tương ứng là trung điểm của BC,DA. Chứng minh rằng HK\bot IJ.

Bài 10. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,BC. Chứng minh rằng IE\bot CD\Leftrightarrow IF\bot AD.

Bài 11. Cho góc vuông xSy và đường tròn (O) cắt Sx tại A,BSy tại C,D. Chứng minh rằng trung tuyến vẽ từ S của tam giác SAC vuông góc với BD.

Bài 12. Cho tam giác không cân ABC. Hỏi tam giác phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng Euler của nó vuông góc với trung tuyến qua A?

Bài 13. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện. Chứng minh rằng nếu 3 trong số các đường đó đồng quy thì cả 4 đường thẳng đồng quy.

Bài 14. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A_1,A_2,\cdots, A_n, và n số thực khác không \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n sao cho A_iA_j^2=\lambda_i+\lambda_j\,\,\forall i\not =j. Chứng minh rằng n\leq 4 và nếu n=4 thì \displaystyle\dfrac{1}{\lambda_1}+\dfrac{1}{\lambda_2}+\dfrac{1}{\lambda_3}+\dfrac{1}{\lambda_4}=0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s