VMO training 2017 – Part 1


Đây là một số bài toán tôi dùng trong đợt luyện VMO 2017,  gửi các đồng nghiệp tham khảo.

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 7^a - 3^b chia hết a^4 + b^2.

Bài 2. Cho số nguyên dương k. Chứng minh rằng có vô hạn số chính phương dạng n\cdot 2^k - 7, ở đây n là số nguyên dương.

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) sao cho \dfrac {n^3+1}{mn-1} là số nguyên.

Bài 4. Cho a,b là các số nguyên dương lẻ sao cho 2ab+1 \mid a^2 + b^2 + 1. Chứng minh a=b.

Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} là một số nguyên dương.

Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương a sao cho với mọi số nguyên n\ge 5 ta có 2^n-n^2\mid a^n-n^a.

Bài 7.  Cho số nguyên dương k. Chứng minh rằng số (4\cdot k^2-1)^2 có ước dương dạng 8kn-1\,\,(n\in\mathbb{N}^*) khi và chỉ khi k là số chẵn.

Bài 8. Cho số nguyên n>1 và các số nguyên a_1,a_2,\cdots,a_n. Chứng minh rằng \displaystyle \prod_{1\leq i<j\leq n} (i-j)\mid \prod_{1\leq i<j\leq n} (a_i-a_j).

1 thought on “VMO training 2017 – Part 1”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s