IMO Shortlist 2015 – Number theory


Các bạn có thể xem các phần trước của ISL 2015 ở các link

IMO Shortlist 2015 – Geometry

IMO Shortlist 2015 – Combinatorics

IMO Shortlist 2015 – Algebra

N1. Tìm tất cả các số nguyên dương M sao cho dãy a_0, a_1, a_2, \cdots xác định bởi a_0 = M + \dfrac{1}{2}a_{k+1} = a_k\lfloor a_k \rfloor với k = 0, 1, 2, \cdots chứa ít nhất một số nguyên.

N2. Cho các số nguyên dương ab sao cho a! + b! chia hết a!b!. Chứng minh 3a \ge 2b + 2.

N3. Cho mn là các số nguyên dương sao cho m>n. Định nghĩa x_k=\dfrac{m+k}{n+k} với k=1,2,\ldots,n+1. Chứng minh rằng nếu x_1,x_2,\ldots,x_{n+1} là các số nguyên thì x_1x_2\ldots x_{n+1}-1 chia hết cho một số nguyên tố lẻ.

N4. Cho a_0, a_1, \cdots b_0, b_1, \cdots là hai dãy các số nguyên dương thỏa mãn a_0, b_0 \ge 2

a_{n+1} = \gcd{(a_n, b_n)} + 1, b_{n+1} = \text{lcm}{(a_n, b_n)} - 1. Chứng minh dãy a_n là hằng kể từ lúc nào đó.

N5. Tìm tất cả các bộ ba (a,b,c) các số nguyên dương sao cho

ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b là các lũy thừa của 2.

N6. Cho \mathbb{Z}_{>0} là tập các số nguyên dương. Xét hàm số f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}. Với mỗi m, n \in \mathbb{Z}_{>0} ta viết f^n(m) = \underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m)\ldots)). Biết f có các tính chất:

(i) Nếu m, n \in \mathbb{Z}_{>0} thì \frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0};

(ii) Tập \mathbb{Z}_{>0} \setminus \{f(n) \mid n\in \mathbb{Z}_{>0}\} là hữu hạn.

Chứng minh rằng dãy f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots là dãy tuần hoàn.

N7. Cho \mathbb{Z}_{>0} là tập các số nguyên dương. Với mỗi số nguyên dương k, một hàm số f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} được gọi là k-tốt nếu \gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k với mỗi m \neq n. Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại hàm k-tốt.

N8. Với mỗi số nguyên dương n với phân tích nguyên tố \displaystyle n = \prod_{i = 1}^{k} p_i^{\alpha_i}, định nghĩa

\mho(n) = \sum_{i: \; p_i > 10^{100}} \alpha_i.

Tìm tất cả các hàm tăng ngặt f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} sao cho

\mho(f(a) - f(b)) \le \mho(a - b) với mỗi hai số nguyên a > b.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s