Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/ và https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!
G1. Cho tam giác nhọn với trực tâm
. Gọi
là điểm sao cho
là một hình bình hành. Gọi
là điểm trên đường thẳng
sao cho
chia đôi
. Giả sử đường thẳng
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại
và
. Chứng minh
.
G2. Tam giác có đường tròn ngoại tiếp
và tâm đường tròn ngoại tiếp
. Một đường tròn
tâm
cắt đoạn
tại
và
sao cho
,
,
, và
khác nhau và nằm trên
theo thứ tự này. Cho
và
là giao điểm của
và
sao cho
,
,
,
, và
nằm trên
theo thứ tự này. Gọi
là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác
và đoạn
. Gọi
là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác
và đoạn
. Giả sử
và
cắt nhau tại
. Chứng minh rằng
thuộc
.
G3. Cho tam giác với
, và
là chân đường cao qua
. Chọn điểm
bên trong tam giác
sao cho
chia đôi
. Gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
. Gọi
là nửa đường tròn đường kính
cắt đoạn
tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua
tiếp xúc với
tại
. Chứng minh
và
cắt nhau trên
.
G4. Cho tam giác nhọn và
là trung điểm của
. Một đường tròn
qua
và
cắt các cạnh
và
lần lượt tại
và
. Gọi
là điểm sao cho
là một hình bình hành. Giả sử rằng
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
.
G5. Cho tam giác với
. Gọi
,
, và
lần lượt là trung điểm của
,
, và
. Một đường tròn
qua
và tiếp xúc với
tại
cắt đoạn
và đoạn
lần lượt tại
và
. Các điểm
và
đối xứng với
và
qua
và
, tương ứng. Đường thẳng
cắt
và
lần lượt tại
và
. Đường thẳng
cắt
lần hai tại
. Chứng minh
.
G6. Cho tam giác nhọn với
. Gọi
là đường tròn ngoại tiếp,
là trực tâm, và
là chân đường cao qua
của tam giác
. Gọi
là trung điểm của
. Gọi
là điểm trên
sao cho
và
là điểm trên
sao cho
. Giả sử rằng
,
,
,
và
khác nhau và nằm trên
theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
G7. Cho là một tứ giác lồi, và
,
,
,
là các điểm nằm trên các cạnh
,
,
,
, tương ứng. Cho các đoạn
,
cắt nhau tại
. Giả sử mỗi tứ giác
,
,
,
là tứ giác ngoại tiếp. Chứng minh
,
,
đồng quy hoặc song song đôi một.
G8. Một tam giác hóa của một đa giác lồi là một phân hoạch của
thành các tam giác bởi các đường chéo không có điểm trong chung. Ta nói một tam giác hóa là một tam giác hóa Thái Lan nếu tất cả các tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng mỗi hai tam giác hóa Thái Lan phân biệt của một đa giác lồi
khác nhau đúng hai tam giác.
One thought on “IMO Shortlist 2015 – Geometry”