IMO Shortlist 2015 – Geometry

Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/ và https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!

G1. Cho tam giác nhọn với trực tâm . Gọi là điểm sao cho là một hình bình hành. Gọi là điểm trên đường thẳng sao cho chia đôi . Giả sử đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại và . Chứng minh .

G2. Tam giác có đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp . Một đường tròn tâm cắt đoạn tại và sao cho , , , và khác nhau và nằm trên theo thứ tự này. Cho và là giao điểm của và sao cho , , , , và nằm trên theo thứ tự này. Gọi là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đoạn . Gọi là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác và đoạn . Giả sử và cắt nhau tại . Chứng minh rằng thuộc .

G3. Cho tam giác với , và là chân đường cao qua . Chọn điểm bên trong tam giác sao cho chia đôi . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Gọi là nửa đường tròn đường kính cắt đoạn tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua tiếp xúc với tại . Chứng minh và cắt nhau trên .

G4. Cho tam giác nhọn và là trung điểm của . Một đường tròn qua và cắt các cạnh và lần lượt tại và . Gọi là điểm sao cho là một hình bình hành. Giả sử rằng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính .

G5. Cho tam giác với . Gọi , , và lần lượt là trung điểm của , , và . Một đường tròn qua và tiếp xúc với tại cắt đoạn và đoạn lần lượt tại và . Các điểm và đối xứng với và qua và , tương ứng. Đường thẳng cắt và lần lượt tại và . Đường thẳng cắt lần hai tại . Chứng minh .

G6. Cho tam giác nhọn với . Gọi là đường tròn ngoại tiếp, là trực tâm, và là chân đường cao qua của tam giác . Gọi là trung điểm của . Gọi là điểm trên sao cho và là điểm trên sao cho . Giả sử rằng , , , và khác nhau và nằm trên theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác .

G7. Cho là một tứ giác lồi, và , , , là các điểm nằm trên các cạnh , , , , tương ứng. Cho các đoạn , cắt nhau tại . Giả sử mỗi tứ giác , , , là tứ giác ngoại tiếp. Chứng minh , , đồng quy hoặc song song đôi một.

G8. Một tam giác hóa của một đa giác lồi là một phân hoạch của thành các tam giác bởi các đường chéo không có điểm trong chung. Ta nói một tam giác hóa là một tam giác hóa Thái Lan nếu tất cả các tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng mỗi hai tam giác hóa Thái Lan phân biệt của một đa giác lồi khác nhau đúng hai tam giác.