IMO Shortlist 2015 – Geometry


Mọi người xem hai phần trước ở https://nttuan.org/2016/08/20/topic-811/https://nttuan.org/2016/08/06/topic-807/ nhé!

G1. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Gọi G là điểm sao cho ABGH là một hình bình hành. Gọi I là điểm trên đường thẳng GH sao cho AC chia đôi HI. Giả sử đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GCI tại CJ. Chứng minh IJ = AH.

G2. Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp \Omega và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Một đường tròn \Gamma tâm A cắt đoạn BC tại DE sao cho B, D, E, và C khác nhau và nằm trên BC theo thứ tự này. Cho FG là giao điểm của \Gamma\Omega sao cho A, F, B, C, và G nằm trên \Omega theo thứ tự này. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn CA. Giả sử FKGL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X thuộc AO.

G3. Cho tam giác ABC với \angle{C} = 90^{\circ}, và H là chân đường cao qua C. Chọn điểm D bên trong tam giác CBH sao cho CH chia đôi AD. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng BDCH. Gọi \omega là nửa đường tròn đường kính BD cắt đoạn CB tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua P tiếp xúc với \omega tại Q. Chứng minh CQAD cắt nhau trên \omega.

G4. Cho tam giác nhọn ABCM là trung điểm của AC. Một đường tròn \omega qua BM cắt các cạnh ABBC lần lượt tại PQ. Gọi T là điểm sao cho BPTQ là một hình bình hành. Giả sử rằng T nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính \dfrac{BT}{BM}.

G5. Cho tam giác ABC với CA \neq CB. Gọi D, F, và G lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC. Một đường tròn \Gamma qua C và tiếp xúc với AB tại D cắt đoạn AF và đoạn BG lần lượt tại HI. Các điểm H'I' đối xứng với HI qua FG, tương ứng. Đường thẳng H'I' cắt CDFG lần lượt tại QM. Đường thẳng CM cắt \Gamma lần hai tại P. Chứng minh CQ = QP.

G6. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC. Gọi \Gamma là đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm, và F là chân đường cao qua A của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm trên \Gamma sao cho \angle HQA = 90^{\circ}K là điểm trên \Gamma sao cho \angle HKQ = 90^{\circ}. Giả sử rằng A, B, C, KQ khác nhau và nằm trên \Gamma theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KQH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác FKM.

G7. Cho ABCD là một tứ giác lồi, và P, Q, R, S là các điểm nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA, tương ứng. Cho các đoạn PR, QS cắt nhau tại O. Giả sử mỗi tứ giác APOS, BQOP, CROQ, DSOR là tứ giác ngoại tiếp. Chứng minh AC, PQ, RS đồng quy hoặc song song đôi một.

G8. Một tam giác hóa của một đa giác lồi \Pi là một phân hoạch của \Pi thành các tam giác bởi các đường chéo không có điểm trong chung. Ta nói một tam giác hóa là một tam giác hóa Thái Lan nếu tất cả các tam giác có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng mỗi hai tam giác hóa Thái Lan phân biệt của một đa giác lồi \Pi khác nhau đúng hai tam giác.

1 thought on “IMO Shortlist 2015 – Geometry”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s