Sum and product


Bài 1. Tính giới hạn của các dãy (u_n) xác định bởi

a) \displaystyle u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1}\,\,\forall n\geq 1.

b) \displaystyle u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\,\,\forall n\geq 2.

c) \displaystyle u_n=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\frac{n^3-1}{n^3+1}\,\,\forall n\geq 2.

Bài 2. Cho dãy số (x_n) xác định bởi x_1=\dfrac{2}{3},x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\,\,\forall n\geq 1. Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của dãy.

Bài 3. Dãy a_1,a_2,\ldots các số thực dương thỏa mãn a_{k+1}\geq\dfrac{ka_k}{a_k^2+(k-1)} với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n với mọi n\geq 2.

Bài 4. Cho dãy số dương \{a_n\} xác định bởi a_{1}=1,\,\,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng

\displaystyle\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}.

Bài 5. Các dãy (x_n),(y_n) xác định bởi x_1=2,y_1=1x_{n+1}=x_n^2+1,y_{n+1}=x_ny_n\,\,\,\,\,\,\,\,\forall n\geq 1. Chứng minh rằng dãy số (x_n/y_n)_{n\geq 1} hội tụ và giới hạn của nó bé hơn \sqrt{7}.

Bài 6. Cho dãy \{x_n\} được xác định bởi \displaystyle x_1=1;x_n=\dfrac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i\,\,\forall n>1. Chứng minh rằng dãy (y_n) xác định bởi y_n=x_{n+1}-x_n\,\,\forall n\geq 1 có giới hạn hữu hạn.

Bài 7. Tồn tại hay không dãy \{x_{n}\} các số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

i) |x_{n}|\leq 0,666 với mỗi n=1,2,...;

ii) |x_{m}-x_{n}|\geq \dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{m(m+1)} với mỗi m\not = n?

Bài 8. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn

f(x+y^2)\geq (y+1)f(x)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 9. Cho \{a_n\}_{n \geq 1} là dãy số thực bị chặn thỏa mãn

a_n < \displaystyle\sum_{k=n}^{2n+2006} \frac{a_k}{k+1} + \frac{1}{2n+2007} \forall n = 1, 2, 3, \ldots . Chứng minh rằng a_n < \dfrac{1}{n}\,\forall n = 1, 2, 3, \ldots.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s