APMO 2016


APMO = Asian Pacific Mathematics Olympiad là một cuộc thi Toán của các nước thuộc vùng Châu Á Thái Bình Dương và một số nước khác (như Mĩ chẳng hạn),  kỳ thi đầu tiên diễn ra vào năm 1989.

Mục đích của APMO là:

– phát hiện và động viên các tài năng toán học thuộc các nước Châu Á Thái Bình Dương;

– tạo các mối quan hệ và hợp tác giữa các học sinh và giáo viên trong khu vực;

– tạo cơ hội để các học sinh và giáo viên trao đổi về cách học và cách dạy;

– khuyến khích và hỗ trợ sự tham gia của Toán học vào các hoạt động kiểu Olimpic, không chỉ ở các nước tham dự APMO.

Mỗi thí sinh tham dự APMO sẽ phải giải 5 bài toán trong 4 giờ, mỗi bài được tối đa 7 điểm. Họ phải ít hơn 20 tuổi vào ngày 1/7 của năm thi và chưa học Đại học. Hàng năm, APMO được tổ chức vào chiều thứ Hai thứ hai của tháng 3 đối với các nước Bắc và Nam Mỹ, và vào sáng thứ Ba thứ hai của tháng 3 đối với các nước thuộc Tây Thái Bình Dương và Châu Á. Đề thi sẽ được giữ bí mật cho đến khi Ban tổ chức đăng lên trang chính thức của kì thi, trong đề thi sẽ nhắc thí sinh không được thảo luận về các bài toán trên internet sau khi thi.

Các thí sinh sẽ nhận được giấy chứng nhận giải thưởng hoặc bằng khen. Số lớn nhất các thí sinh được nhận giấy chứng nhận giải thưởng bằng \left[\dfrac{n+1}{2}\right], ở đây n là số thí sinh tham gia thi.

Điểm của các thí sinh được giải Vàng sẽ không bé hơn m+\sigma, giải Bạc sẽ không bé hơn m+\dfrac{1}{3}\sigma, giải Đồng sẽ không bé hơn m-\dfrac{1}{3}\sigma.

Ở đây m là điểm trung bình của các thí sinh và \sigma là độ lệch chuẩn.  Đối với mỗi đội thì số giải Vàng =1, số giải Vàng+số giải Bạc=3, và số giải Vàng+số giải Bạc+số giải Đồng=7.

Mỗi năm thì điều kiện để nhận Bằng khen lại khác: Có thể là giải trọn vẹn 1 bài toán, có thể là giải 2 bài không trọn vẹn có số điểm ít nhất là 5 hoặc 6,… Việt Nam không tham gia APMO đã hơn 10 năm, nhưng có thể 2017 sẽ tham gia. Dưới đây là đề APMO 2016.

Bài 1. Ta nói tam giác ABClớn nếu với mỗi điểm D trên cạnh BC, nếu PQ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ D xuống ABAC, thì điểm đối xứng của D qua PQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC là lớn khi và chỉ khi \widehat{A} = 90^{\circ}AB = AC.

Bài 2. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng 2^{a_1}+2^{a_2}+ \cdots+ 2^{a_{100}}, ở đây a_1,a_2, \cdots, a_{100} là các số tự nhiên. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho không có bội của n là tốt.

Bài 3. Cho ABAC là hai tia khác nhau không cùng nằm trên một đường thẳng, và \omega là một đường tròn có tâm O tiếp xúc với tia AC tại E và tia AB tại F. Gọi R là một điểm trên đoạn EF. Đường thẳng qua O song song với EF cắt AB tại P. Gọi N là giao của PRAC, và M là giao của AB và đường thẳng qua R song song với AC. Chứng minh rằng MN tiếp xúc với \omega.

Bài 4. Nước Dreamland có 2016 thành phố. Hãng hàng không Starways muốn lập một số chuyến bay một chiều giữa các cặp thành phố sao cho mỗi thành phố có đúng một chuyến bay xuất phát từ nó. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho với mọi cách thiết lập đường bay, các thành phố có thể được chia thành k nhóm sao cho từ mỗi thành phố không thể đến thành phố khác trong cùng nhóm khi sử dụng không quá 28 chuyến bay.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: (0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho (z + 1)f(x + y) = f(xf(z) + y) + f(yf(z) + x)\,\,\forall x,y,z\in (0;+\infty).

Nguồn: AoPS và http://daryn.kz/apmo/?lang=en

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s