IMO training 2016 (1)


Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2016. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho a,bc là các số nguyên dương thỏa mãn ab chia hết c(c^{2}-c+1)a+b chia hết cho c^{2}+1. Chứng minh rằng \{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}.

Bài 2. Cho ab là hai số hữu tỷ dương khác nhau sao cho với vô hạn số nguyên dương n, số a^n-b^n là số nguyên. Chứng minh rằng ab là các số nguyên.

Bài 3. Cho số nguyên n\ge 2. Chứng minh rằng nếu k^2+k+n là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le\sqrt{\dfrac{n}{3}} thì nó cũng là số nguyên tố với mỗi số nguyên k thỏa mãn 0\le k\le n-2.

Bài 4. Liệu có tồn tại hay không một cấp số cộng tăng gồm 40 số hạng sao cho mỗi số hạng của nó có dạng 2^k+3^l\,\, (k,l\in\mathbb{N})?

Bài 5. Cho b là một số nguyên lớn hơn 5. Với mỗi số nguyên dương n, xét số x_n = \underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots 2}_{n}5, trong cơ số b. Chứng minh rằng tính chất sau thỏa mãn khi và chỉ khi b=10: Tồn tại số nguyên dương M sao cho với mỗi số nguyên n>M, số x_n là một số chính phương.

Bài 6. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p, số các số nguyên dương n thỏa mãn p|n!+1 không vượt quá cp^\frac{2}{3}. Ở đây c là hằng số không phụ thuộc p.

Bài 7. Với mỗi số nguyên dương n, định nghĩa f(n) = d (n!) - d ((n-1)!), ở đây d(a) là số ước dương của a. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn hợp số n, sao cho với mỗi số nguyên dương m < n ta có f(m) < f(n).

1 thought on “IMO training 2016 (1)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s