IMO 2016


IMO lần thứ 57 (57th International Mathematical Olympiad) được tổ chức ở Hong Kong với sự tham gia của hơn 100 nước, mỗi nước không quá 6 thí sinh.

Kì thi này được tổ chức lần đầu ở Rumani vào năm 1959, Việt Nam tham gia từ năm 1974 (năm 1977 và 1981 không tham gia). Đoàn Việt Nam tham dự năm nay:

IMO2016P1

Nhìn vào hình trên ta thấy đoàn mình năm nay gồm 15 người (hơi đông😛, ít hơn mỗi đoàn Brazil thì phải?), trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, phó đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình; quan sát viên là các thầy Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Chu Gia Vượng, Nguyễn Thanh Sơn, Nguyễn Hữu Tâm, Nguyễn Khánh Ngọc, Nguyễn Hoàng Cương, và cô Đào Thị Lê Dung. 6 thành viên còn lại là các bạn học sinh sẽ tham gia thi:

1) Đào Vũ Quang, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, Hà Nội;
2) Vũ Xuân Trung, THPT chuyên Thái Bình, Thái Bình;
3) Hoàng Anh Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá;
4) Phạm Nguyễn Mạnh, PTNK – ĐHQG Tp. HCM;
5) Lê Nhật Hoàng, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định;
6) Vũ Đức Tài, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.

Theo thông tin từ Ban tổ chức ( trên trang http://www.imo2016.org/ ), hình thức của đề thi năm nay vẫn như các năm trước, nghĩa là ta thi trong 2 ngày, mỗi ngày phải giải 3 bài toán trong 4 tiếng rưỡi. Các bạn có thể xem các bài toán năm trước ở trang http://www.imo-official.org/problems.aspx .

Năm nay các bạn thí sinh sẽ làm bài trong hai ngày: 11 và 12/7, mỗi ngày bắt đầu từ 9h sáng. Tôi sẽ post đề thi và kết quả của đội Việt Nam trong topic này, ngay khi tôi có thông tin!

1) ĐỀ THI

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là một điểm trên đường thẳng CF sao cho FA=FBF nằm giữa A,C. Lấy D sao cho DA=DCAC là phân giác của \angle{DAB}. Điểm E được chọn sao cho EA=EDAD là phân giác của \angle{EAC}. Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành. Chứng minh BD,FXME đồng quy.

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho trên mỗi ô vuông con của bảng n \times n ta có thể viết một trong các chữ cái I,MO để hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

1) trên mỗi dòng và mỗi cột, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O;

2) trên mỗi đường chéo có số ô là bội của 3, một phần ba là I, một phần ba là M và một phần ba là O.

Chú ý. Các dòng và các cột của một bảng n \times n được đánh số từ 1 đến n theo cách tự nhiên. Như vậy mỗi ô tương ứng với một cặp số nguyên dương (i,j) với 1 \le i,j \le n. Khi n>1, bảng có 4n-2 đường chéo. Có hai kiểu đường chéo, kiểu thứ nhất chứa các ô (i,j) với i+j là hằng số, kiểu thứ hai chứa các ô (i,j) với i-j là hằng số.

Bài 3. Cho P=A_1A_2\cdots A_k là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh A_1, A_2, \cdots, A_k có tọa độ nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi S là diện tích của P. Cho số nguyên dương lẻ n sao cho bình phương của độ dài các cạnh của P là các số nguyên chia hết cho n. Chứng minh rằng 2S là số nguyên chia hết cho n.

Ngày thứ hai

Bài 4. Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt P(n)=n^{2}+n+1. Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm a để tập hợp  \left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \} là tập hương.

Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình:

(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)

với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất để có thể xóa đi k nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

Bài 6. Trong mặt phẳng, cho n\geq 2 đoạn thẳng sao cho hai đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một điểm nằm trên mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy. Với mỗi đoạn thẳng thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên đó một con ếch sao cho mặt con ếch hướng về đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay n-1 lần. Mỗi lần vỗ tay con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả những con ếch đều không thay đổi hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay không có hai con nào nhảy đến cùng một điểm.

(a) Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu n là số lẻ;

(b) Chứng minh rằng thầy Minh không thể thực hiện được ý định của mình nếu nếu n là số chẵn.

2) KẾT QUẢ CỦA ĐỘI VIỆT NAM

Ban tổ chức quyết định trao HCV cho các bạn có điểm lớn hơn 28, HCB cho các bạn có điểm lớn hơn 21, HCĐ cho các bạn có điểm lớn hơn 15, và Bằng khen cho các bạn có số điểm lớn hơn 6. Đây là kết quả của đội nhà: 1 HCV, 4 HCB, 1 HCĐ.

IMO2016P4vn

3) TOP 10 THÍ SINH

Năm nay có đến 6 cháu đạt điểm tuyệt đối: 3 của Hàn Quốc, 2 của Mĩ, và 1 của Trung Quốc.

IMO2016P3canhan

4) TOP 10 ĐỘI TUYỂN

Đội mình có điểm cao thứ 11 các bác ạ! Đề thiên về Tổ hợp quá!🙂

IMO2016P2qg

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s