USA TSTST 2016


Bài 1. Cho A = A(x,y)B = B(x,y) là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử A(x,y)/B(x,y) là đa thức của x với vô hạn y, và một đa thức của y với vô hạn x. Chứng minh rằng B chia hết A, nghĩa là tồn tại đa thức C với hệ số thực thỏa mãn A = B \cdot C.

Bài 2. Cho tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Kí hiệu M, N lần lượt là trung điểm của \overline{AH}, \overline{BC}. Giả sử đường tròn \gamma đường kính \overline{AH} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại G \neq A, và cắt đường thẳng AN tại Q \neq A. Tiếp tuyến của \gamma tại G cắt OM tại P. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác GNQMBC cắt nhau tại một điểm T trên \overline{PN}.

Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức Q(x) khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên n > 2, các số Q(0), \; Q(1), Q(2),  \; \dots, \; Q(n-1) nhận nhiều nhất 0.499n dư khi chia cho n.

Bài 4. Cho nk là hai số nguyên dương thỏa mãn 1 = \underbrace{\varphi( \varphi( \dots \varphi(}_{k\ \text{times}} n) \dots )). Chứng minh n \le 3^k.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ có hữu hạn bức tường; là các đoạn thẳng rời nhau, không có đoạn nào cùng phương với các trục. Một chiếc xe ủi xuất phát từ một điểm bất kỳ và di chuyển theo hướng dương của trục Ox. Tại mỗi thời điểm, nếu nó đụng một bức tường, nó sẽ quay sang hướng vuông góc với đường và tiếp tục di chuyển. Chứng minh rằng xe ủi không thể đụng cả hai bên của mỗi bức tường.

Bài 6. Tam giác ABC có tâm nội tiếp I, và đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB} lần lượt tại D, E, F. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên \overline{EF}. Giả sử đường tròn ngoại tiếp \triangle AIB cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau C_1C_2, đường tròn ngoại tiếp \triangle AIC cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau B_1B_2. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác \triangle BB_1B_2\triangle CC_1C_2 đi qua trung điểm M của \overline{DK}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s