Bài 1. Cho và
là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử
là đa thức của
với vô hạn
, và một đa thức của
với vô hạn
. Chứng minh rằng
chia hết
, nghĩa là tồn tại đa thức
với hệ số thực thỏa mãn
.
Bài 2. Cho tam giác với trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp
. Kí hiệu
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Giả sử đường tròn
đường kính
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại
, và cắt đường thẳng
tại
. Tiếp tuyến của
tại
cắt
tại
. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác
và
cắt nhau tại một điểm
trên
.
Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên
, các số
nhận nhiều nhất
dư khi chia cho
.
Bài 4. Cho và
là hai số nguyên dương thỏa mãn
Chứng minh
.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ có hữu hạn bức tường; là các đoạn thẳng rời nhau, không có đoạn nào cùng phương với các trục. Một chiếc xe ủi xuất phát từ một điểm bất kỳ và di chuyển theo hướng dương của trục . Tại mỗi thời điểm, nếu nó đụng một bức tường, nó sẽ quay sang hướng vuông góc với đường và tiếp tục di chuyển. Chứng minh rằng xe ủi không thể đụng cả hai bên của mỗi bức tường.
Bài 6. Tam giác có tâm nội tiếp
, và đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với
,
,
lần lượt tại
,
,
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
. Giả sử đường tròn ngoại tiếp
cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau
và
, đường tròn ngoại tiếp
cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau
và
. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác
và
đi qua trung điểm
của
.