USA TSTST 2016

Bài 1. Cho và là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử là đa thức của với vô hạn , và một đa thức của với vô hạn . Chứng minh rằng chia hết , nghĩa là tồn tại đa thức với hệ số thực thỏa mãn .

Bài 2. Cho tam giác với trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp . Kí hiệu , lần lượt là trung điểm của , . Giả sử đường tròn đường kính cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại , và cắt đường thẳng tại . Tiếp tuyến của tại cắt tại . Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác và cắt nhau tại một điểm trên .

Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên , các số nhận nhiều nhất dư khi chia cho .

Bài 4. Cho và là hai số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh .

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ có hữu hạn bức tường; là các đoạn thẳng rời nhau, không có đoạn nào cùng phương với các trục. Một chiếc xe ủi xuất phát từ một điểm bất kỳ và di chuyển theo hướng dương của trục . Tại mỗi thời điểm, nếu nó đụng một bức tường, nó sẽ quay sang hướng vuông góc với đường và tiếp tục di chuyển. Chứng minh rằng xe ủi không thể đụng cả hai bên của mỗi bức tường.

Bài 6. Tam giác có tâm nội tiếp , và đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với , , lần lượt tại , , . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Giả sử đường tròn ngoại tiếp cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau và , đường tròn ngoại tiếp cắt đường tròn nội tiếp tại hai điểm khác nhau và . Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác và đi qua trung điểm của .