USA TSTST 2016


Bài 1. Cho A = A(x,y)B = B(x,y) là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử A(x,y)/B(x,y) là đa thức của x với vô hạn y, và một đa thức của y với vô hạn x. Chứng minh rằng B chia hết A, nghĩa là tồn tại đa thức C với hệ số thực thỏa mãn A = B \cdot C.

Bài 2. Cho tam giác ABC với trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Kí hiệu M, N lần lượt là trung điểm của \overline{AH}, \overline{BC}. Giả sử đường tròn \gamma đường kính \overline{AH} cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại G \neq A, và cắt đường thẳng AN tại Q \neq A. Tiếp tuyến của \gamma tại G cắt OM tại P. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác GNQMBC cắt nhau tại một điểm T trên \overline{PN}.

Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức Q(x) khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên n > 2, các số Q(0), \; Q(1), Q(2),  \; \dots, \; Q(n-1) nhận nhiều nhất 0.499n dư khi chia cho n. Continue reading “USA TSTST 2016”