On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n


Cho số nguyên dương nS(k,n) là hàm đối xứng sơ cấp thứ k của \displaystyle 1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}, nghĩa là \displaystyle S(k,n)=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}\frac{1}{i_1i_2\ldots i_k}.

Ta biết rằng nếu n>1 thì S(1;n) không phải là số nguyên. Năm 1946, P. Erdos và I. Niven đã chứng minh được rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương n để tồn tại k sao cho S(k,n) là số nguyên.

Tốt hơn nữa, vào năm 2012, Yong-Gao Chen và Min Tang đã chứng minh được rằng nếu n>3 thì không có k sao cho S(k,n) là số nguyên.

Dưới đây là chứng minh của họ.

Link 1

Link 2

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s