Functional Equations – 7/2016


Bài 1. Xác định tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho đa thức (x+1)P(x-1)-(x-1)P(x) là đa thức hằng.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

(a) f(x) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R};

(b) Với a, b, c, d \in \mathbb{R} có tính chất ab + bc + cd = 0 , ta có f(a-b) + f(c-d) = f(a) + f(b+c) + f(d).

Bài 3. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y))\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} sao cho f(0) \in \mathbb Qf(x+f(y)^2 ) = {f(x+y)}^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm f,g:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} sao cho f đồng biến trên \mathbb{R}^{+},

f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}

g(f(x)+y+g(y))=2x-g(x)+f(y)+y \,\,\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s