## IMO 2016

IMO lần thứ 57 (57th International Mathematical Olympiad) được tổ chức ở Hong Kong với sự tham gia của hơn 100 nước, mỗi nước không quá 6 thí sinh.

Kì thi này được tổ chức lần đầu ở Rumani vào năm 1959, Việt Nam tham gia từ năm 1974 (năm 1977 và 1981 không tham gia). Đoàn Việt Nam tham dự năm nay:

Nhìn vào hình trên ta thấy đoàn mình năm nay gồm 15 người (hơi đông :P, ít hơn mỗi đoàn Brazil thì phải?), trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, phó đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình; quan sát viên là các thầy Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Chu Gia Vượng, Nguyễn Thanh Sơn, Nguyễn Hữu Tâm, Nguyễn Khánh Ngọc, Nguyễn Hoàng Cương, và cô Đào Thị Lê Dung. 6 thành viên còn lại là các bạn học sinh sẽ tham gia thi:

1) Đào Vũ Quang, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, Hà Nội;
2) Vũ Xuân Trung, THPT chuyên Thái Bình, Thái Bình;
3) Hoàng Anh Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá;
4) Phạm Nguyễn Mạnh, PTNK – ĐHQG Tp. HCM;
5) Lê Nhật Hoàng, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định;
6) Vũ Đức Tài, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.

Theo thông tin từ Ban tổ chức ( trên trang http://www.imo2016.org/ ), hình thức của đề thi năm nay vẫn như các năm trước, nghĩa là ta thi trong 2 ngày, mỗi ngày phải giải 3 bài toán trong 4 tiếng rưỡi. Các bạn có thể xem các bài toán năm trước ở trang http://www.imo-official.org/problems.aspx .

Năm nay các bạn thí sinh sẽ làm bài trong hai ngày: 11 và 12/7, mỗi ngày bắt đầu từ 9h sáng. Tôi sẽ post đề thi và kết quả của đội Việt Nam trong topic này, ngay khi tôi có thông tin!

## IMC training 2016 (4)

Problem 1. The number 16 is placed in the top left corner square of a  table. The remaining 15 squares are to be filled in using exactly once each of the number 1,2,…,15, so that the sum of the four number in each row, each column and each diagonal is the same. Find the maximum value of the sum of the six numbers in the shaded squares shown in the diagram below.

Problem 2. All but one of the numbers from 1 to 21 are put into the squares of a  $4\times 5$ table, one number in each square, such that the sum of all the numbers in each row is constant, and the sum of all the numbers in each column is also constant. Find the number which is left out.

Problem 3. The diagram below show ten circles in a triangular array. Place each of the numbers 0 to 9 in a different circles so that for each of the six right-side up triangles marked with plus signs, the sum of the numbers in the three circles at its vertices is the same.

Problem 4. Four integers are marked on a circle. On each step we simultaneously replace each number by the difference between this number and next number on the circle, moving in a clockwise direction; that is, the numbers a,b,c,d are replaced by a-b,b-c,c-d,d-a.  Is it possible after 2016 such to have numbers a,b,c,d such the numbers |bc-ad|, |ca-bd|, |ab-cd|  are primes?

Problem 5. Assume an  $8\times 8$ chessboard with the usual coloring. You may repaint all squares

1 – Of a row or column;

2 – Of a $2\times 2$ square.

The goal is to attain just one black square. Can you reach the goal?

Problem 6. A rectangular floor is covered by  $2\times 2$ and $1\times 4$  tiles. One tile got smashed. There is a tile of the other kind available. Show that the floor cannot be covered by rearranging the tiles.

Problem 7. A beetle sits on each square of a  $9\times 9$ chessboard. At a signal each beetle crawls diagonally onto a neighboring square. Then it may happen that several beetles will sit on some squares and none on others. Find the minimal possible number of free squares.

Problem 8. $10\times 10$ chessboard cannot be covered by 25 T-tetrominoes. Continue reading “IMC training 2016 (4)”

## USA TSTST 2016

Bài 1. Cho $A = A(x,y)$$B = B(x,y)$ là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử $A(x,y)/B(x,y)$ là đa thức của $x$ với vô hạn $y$, và một đa thức của $y$ với vô hạn $x$. Chứng minh rằng $B$ chia hết $A$, nghĩa là tồn tại đa thức $C$ với hệ số thực thỏa mãn $A = B \cdot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Kí hiệu $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $\overline{AH}$, $\overline{BC}$. Giả sử đường tròn $\gamma$ đường kính $\overline{AH}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $G \neq A$, và cắt đường thẳng $AN$ tại $Q \neq A$. Tiếp tuyến của $\gamma$ tại $G$ cắt $OM$ tại $P$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $GNQ$$MBC$ cắt nhau tại một điểm $T$ trên $\overline{PN}$.

Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức $Q(x)$ khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên $n > 2$, các số $Q(0), \; Q(1), Q(2), \; \dots, \; Q(n-1)$ nhận nhiều nhất $0.499n$ dư khi chia cho $n$. Continue reading “USA TSTST 2016”

## IMC training 2016 (3)

Methods of Counting (2)

Problem 1. Find the number of pairs (x;y) of integers such that $|x|+|y|\le 1000$.

Problem 2. How many positive integers not exceeding 2001 are multiples of 3 or 4 but not 5?

Problem 3. Let x=.1234567891011…998999, where the digits are obtained by writing the integers 1 through 999 in order. Find the ${{1983}^{rd}}$ digit to the right of the decimal point.

Problem 4. A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

Problem 5.  Find the number of sets {a,b,c} of three distinct positive integers with the property that the product of a,b, and c is equal to the product of 11,21,31,41,51, and 61.

Problem 6. Find the number of five-digit positive integers, n, that satisfy the following conditions:

(a) the number n is divisible by 5,

(b) the first and last digits of n are equal, and

(c) the sum of the digits of n is divisible by 5.

Problem 7. Nine people sit down for dinner where there are three choices of meals. Three people order the beef meal, three order the chicken meal, and three order the fish meal. The waiter serves the nine meals in random order. Find the number of ways in which the waiter could serve the meal types to the nine people such that exactly one person receives the type of meal ordered by that person. Continue reading “IMC training 2016 (3)”

## On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n

Cho số nguyên dương $n$$S(k,n)$ là hàm đối xứng sơ cấp thứ $k$ của $\displaystyle 1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}$, nghĩa là $\displaystyle S(k,n)=\sum_{1\leq i_1

Ta biết rằng nếu $n>1$ thì $S(1;n)$ không phải là số nguyên. Năm 1946, P. Erdos và I. Niven đã chứng minh được rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương $n$ để tồn tại $k$ sao cho $S(k,n)$ là số nguyên.

Tốt hơn nữa, vào năm 2012, Yong-Gao Chen và Min Tang đã chứng minh được rằng nếu $n>3$ thì không có $k$ sao cho $S(k,n)$ là số nguyên.

Dưới đây là chứng minh của họ. Continue reading “On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n”

## Functional Equations – 7/2016

Bài 1. Xác định tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho đa thức $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$ là đa thức hằng.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:

(a) $f(x) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$;

(b) Với $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ có tính chất $ab + bc + cd = 0$, ta có $f(a-b) + f(c-d) = f(a) + f(b+c) + f(d).$

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho

$f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y))\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.$

Bài 4. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(0) \in \mathbb Q$$f(x+f(y)^2 ) = {f(x+y)}^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.$ Continue reading “Functional Equations – 7/2016”