## IMO training 2016 (1)

Chào các bạn đồng nghiệp,

đây là một số bài toán tôi dùng để luyện cho đội IMO 2016. Tuyển tập này gồm nhiều phần, đây là phần thứ nhất.

Bài 1. Cho $a,b$$c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab$ chia hết $c(c^{2}-c+1)$$a+b$ chia hết cho $c^{2}+1$. Chứng minh rằng $\{a,b\}=\{c,c^{2}-c+1\}$.

Bài 2. Cho $a$$b$ là hai số hữu tỷ dương khác nhau sao cho với vô hạn số nguyên dương $n$, số $a^n-b^n$ là số nguyên. Chứng minh rằng $a$$b$ là các số nguyên.

Bài 3. Cho số nguyên $n\ge 2$. Chứng minh rằng nếu $k^2+k+n$ là số nguyên tố với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $0\le k\le\sqrt{\dfrac{n}{3}}$ thì nó cũng là số nguyên tố với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $0\le k\le n-2$.

Bài 4. Liệu có tồn tại hay không một cấp số cộng tăng gồm $40$ số hạng sao cho mỗi số hạng của nó có dạng $2^k+3^l\,\, (k,l\in\mathbb{N})$?

Bài 5. Cho $b$ là một số nguyên lớn hơn $5$. Với mỗi số nguyên dương $n$, xét số $x_n = \underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots 2}_{n}5,$ trong cơ số $b$. Chứng minh rằng tính chất sau thỏa mãn khi và chỉ khi $b=10$: Tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho với mỗi số nguyên $n>M$, số $x_n$ là một số chính phương. Continue reading “IMO training 2016 (1)”

## IMO 2016

IMO lần thứ 57 (57th International Mathematical Olympiad) được tổ chức ở Hong Kong với sự tham gia của hơn 100 nước, mỗi nước không quá 6 thí sinh.

Kì thi này được tổ chức lần đầu ở Rumani vào năm 1959, Việt Nam tham gia từ năm 1974 (năm 1977 và 1981 không tham gia). Đoàn Việt Nam tham dự năm nay:

Nhìn vào hình trên ta thấy đoàn mình năm nay gồm 15 người (hơi đông :P, ít hơn mỗi đoàn Brazil thì phải?), trưởng đoàn là thầy Lê Anh Vinh, phó đoàn là thầy Lê Bá Khánh Trình; quan sát viên là các thầy Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Chu Gia Vượng, Nguyễn Thanh Sơn, Nguyễn Hữu Tâm, Nguyễn Khánh Ngọc, Nguyễn Hoàng Cương, và cô Đào Thị Lê Dung. 6 thành viên còn lại là các bạn học sinh sẽ tham gia thi:

1) Đào Vũ Quang, THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, Hà Nội;
2) Vũ Xuân Trung, THPT chuyên Thái Bình, Thái Bình;
3) Hoàng Anh Dũng, THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá;
4) Phạm Nguyễn Mạnh, PTNK – ĐHQG Tp. HCM;
5) Lê Nhật Hoàng, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định;
6) Vũ Đức Tài, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.

Theo thông tin từ Ban tổ chức ( trên trang http://www.imo2016.org/ ), hình thức của đề thi năm nay vẫn như các năm trước, nghĩa là ta thi trong 2 ngày, mỗi ngày phải giải 3 bài toán trong 4 tiếng rưỡi. Các bạn có thể xem các bài toán năm trước ở trang http://www.imo-official.org/problems.aspx .

Năm nay các bạn thí sinh sẽ làm bài trong hai ngày: 11 và 12/7, mỗi ngày bắt đầu từ 9h sáng. Tôi sẽ post đề thi và kết quả của đội Việt Nam trong topic này, ngay khi tôi có thông tin!

## IMC training 2016 (4)

Problem 1. The number 16 is placed in the top left corner square of a  table. The remaining 15 squares are to be filled in using exactly once each of the number 1,2,…,15, so that the sum of the four number in each row, each column and each diagonal is the same. Find the maximum value of the sum of the six numbers in the shaded squares shown in the diagram below.

Problem 2. All but one of the numbers from 1 to 21 are put into the squares of a  $4\times 5$ table, one number in each square, such that the sum of all the numbers in each row is constant, and the sum of all the numbers in each column is also constant. Find the number which is left out.

Problem 3. The diagram below show ten circles in a triangular array. Place each of the numbers 0 to 9 in a different circles so that for each of the six right-side up triangles marked with plus signs, the sum of the numbers in the three circles at its vertices is the same.

Problem 4. Four integers are marked on a circle. On each step we simultaneously replace each number by the difference between this number and next number on the circle, moving in a clockwise direction; that is, the numbers a,b,c,d are replaced by a-b,b-c,c-d,d-a.  Is it possible after 2016 such to have numbers a,b,c,d such the numbers |bc-ad|, |ca-bd|, |ab-cd|  are primes?

Problem 5. Assume an  $8\times 8$ chessboard with the usual coloring. You may repaint all squares

1 – Of a row or column;

2 – Of a $2\times 2$ square.

The goal is to attain just one black square. Can you reach the goal?

Problem 6. A rectangular floor is covered by  $2\times 2$ and $1\times 4$  tiles. One tile got smashed. There is a tile of the other kind available. Show that the floor cannot be covered by rearranging the tiles.

Problem 7. A beetle sits on each square of a  $9\times 9$ chessboard. At a signal each beetle crawls diagonally onto a neighboring square. Then it may happen that several beetles will sit on some squares and none on others. Find the minimal possible number of free squares.

Problem 8. $10\times 10$ chessboard cannot be covered by 25 T-tetrominoes. Continue reading “IMC training 2016 (4)”

## USA TSTST 2016

Bài 1. Cho $A = A(x,y)$$B = B(x,y)$ là các đa thức hai biến với hệ số thực. Giả sử $A(x,y)/B(x,y)$ là đa thức của $x$ với vô hạn $y$, và một đa thức của $y$ với vô hạn $x$. Chứng minh rằng $B$ chia hết $A$, nghĩa là tồn tại đa thức $C$ với hệ số thực thỏa mãn $A = B \cdot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Kí hiệu $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $\overline{AH}$, $\overline{BC}$. Giả sử đường tròn $\gamma$ đường kính $\overline{AH}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $G \neq A$, và cắt đường thẳng $AN$ tại $Q \neq A$. Tiếp tuyến của $\gamma$ tại $G$ cắt $OM$ tại $P$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác $GNQ$$MBC$ cắt nhau tại một điểm $T$ trên $\overline{PN}$.

Bài 3. Tồn tại hay không một đa thức $Q(x)$ khác hằng với hệ số nguyên sao cho với mỗi số nguyên $n > 2$, các số $Q(0), \; Q(1), Q(2), \; \dots, \; Q(n-1)$ nhận nhiều nhất $0.499n$ dư khi chia cho $n$. Continue reading “USA TSTST 2016”

## Harmonic division (1)

Problem 1. Let $\triangle ABC$ be a triangle. The incircle of triangle $\triangle ABC$ touches side $BC$ at $A'.$ Let segment $AA'$ meet the incircle again at $P.$ Segments $BP,CP$ meet the incircle at $M,N,$ respectively. Show that lines $AA',BN,CM$ are concurrent.

Problem 2. Given acute triangle $ABC$ with $AB>AC$, let $M$ be the midpoint of $BC$. $P$ is a point in triangle $AMC$ such that $\angle MAB=\angle PAC$. Let $O,O_1,O_2$ be the circumcenters of $\triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP$ respectively. Prove that line $AO$ passes through the midpoint of $O_1 O_2$.

Problem 3. Let $ABCD$ be a cyclic kite (i.e. $BD$ is a perpendicular chord onto the diameter $AC$) and $M$ the midpoint of $AD$. The perpendicular from $C$ onto $BM$ intersects $AD$ at $P$. Prove that $BP$ is tangent to the circle $\odot (ABC)$.

Problem 4. In triangle $ABC$, let $I$ be the incenter and let $I_a$ be the excenter opposite $A$. Suppose that $II_a$ meets $BC$ and the circumcircle of triangle $ABC$ at $A_0$ and $M$, respectively. Let $N$ be the midpoint of arc $MBA$ of the circumcircle of triangle $ABC$. Let lines $NI$ and $NI_a$ intersect the circumcircle of triangle $ABC$ again at $S$ and $T$, respectively. Prove that $S$, $T$, and $A_0$ are collinear. Continue reading “Harmonic division (1)”

## IMC training 2016 (3)

Methods of Counting (2)

Problem 1. Find the number of pairs (x;y) of integers such that $|x|+|y|\le 1000$.

Problem 2. How many positive integers not exceeding 2001 are multiples of 3 or 4 but not 5?

Problem 3. Let x=.1234567891011…998999, where the digits are obtained by writing the integers 1 through 999 in order. Find the ${{1983}^{rd}}$ digit to the right of the decimal point.

Problem 4. A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

Problem 5.  Find the number of sets {a,b,c} of three distinct positive integers with the property that the product of a,b, and c is equal to the product of 11,21,31,41,51, and 61.

Problem 6. Find the number of five-digit positive integers, n, that satisfy the following conditions:

(a) the number n is divisible by 5,

(b) the first and last digits of n are equal, and

(c) the sum of the digits of n is divisible by 5.

Problem 7. Nine people sit down for dinner where there are three choices of meals. Three people order the beef meal, three order the chicken meal, and three order the fish meal. The waiter serves the nine meals in random order. Find the number of ways in which the waiter could serve the meal types to the nine people such that exactly one person receives the type of meal ordered by that person. Continue reading “IMC training 2016 (3)”

## IMC training 2016 (2)

Methods of Counting

Problem 1. How many subsets are there in a set of size $10$?

Problem 2. Find the number of squares contained in an $10\times 10$ squares array.

Problem 3. A team is to be chosen from 4 girls and 6 boys. The only requirement is that it must contain at least 2 girls. Find the number of different teams that may be chosen.

Problem 4. You wish to give your Aunt Mollie a basket of fruit. In your refrigerator you have six oranges and nine apples. The only requirement is that there must be at least one piece of fruit in the basket (that is, an empty basket of fruit is not allowed). How many different baskets of fruit are possible?

Problem 5. Find the number of ways 30 identical pencils can be distributed among three girls so that each gets at least 1 pencil.

Problem 6. There 7 boys and 3 girls in a gathering. In how many ways can they be arranged in a row so that

1) the 3 girls form a single block?

2) the two end-possitions are occupied by boys and no girls are adjacent?

Problem 7. Between 20000 and 70000, find the number of even integers in which no digit is repeated. Continue reading “IMC training 2016 (2)”

## IMC training 2016 (1)

The arithmetic of integers

Problem 1. The positive integers from 1 to 12 have been divided into six pairs so that the sum of the two numbers in each pair is a distinct prime number. Find the largest of these prime number.

Problem 2. The sum of the squares of three prime numbers is 5070. Find the product of these three prime numbers.

Problem 3. A number is said to be strange if in its prime factorization, the power of each prime number is odd. For istance, 22,23 and 24 form a block of three consecutive strange numbers because $22={{2}^{1}}\times {{11}^{1}},23={{23}^{1}},24={{2}^{3}}\times {{3}^{1}}$. Find the greatest length of a block of consecutive strange numbers.

Problem 4. Find the number of consecutive 0s at the end of $2003!=1\times 2\times 3\times ...\times 2003.$

Problem 5. Find the smallest positive integer which is $2$ times the square of some positive integer and also $5$ times the fifth power of some other positive integer.

Problem 6. Sum of seven consecutive positive integer is the cube of an integer and the sum of the middle three numbers is the square of an integer. Find the smallest possible value of the middle number.

Problem 7. Some factors in the product $1\times 2\times 3\times 4\times ...\times 27$ are to be removed so that the product of the remaining factors is the square of an integer. Find the minimum number of factors that must be removed. Continue reading “IMC training 2016 (1)”

## On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n

Cho số nguyên dương $n$$S(k,n)$ là hàm đối xứng sơ cấp thứ $k$ của $\displaystyle 1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}$, nghĩa là $\displaystyle S(k,n)=\sum_{1\leq i_1

Ta biết rằng nếu $n>1$ thì $S(1;n)$ không phải là số nguyên. Năm 1946, P. Erdos và I. Niven đã chứng minh được rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương $n$ để tồn tại $k$ sao cho $S(k,n)$ là số nguyên.

Tốt hơn nữa, vào năm 2012, Yong-Gao Chen và Min Tang đã chứng minh được rằng nếu $n>3$ thì không có $k$ sao cho $S(k,n)$ là số nguyên.

Dưới đây là chứng minh của họ. Continue reading “On the elementary symmetric functions of 1, 1⁄2, …, 1⁄n”