USA TST 2016 (1)


10/12/2015

Bài 1. Đặt S = \{1, \dots, n\}. Cho một song ánh f : S \to S. Một quỹ đạo của f là một tập có dạng \{x, f(x), f(f(x)), \dots \} với x \in S. Ký hiệu c(f) là số quỹ đạo của f. Cho k song ánh f_1, \ldots, f_k từ S đến chính nó. Chứng minh rằng c(f_1) + \dots + c(f_k) \le n(k-1) + c(f), ở đây f : S \to S là hợp thành f_1 \circ \dots \circ f_k.

Bài 2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Omega, và giả sử đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với BC tại D. Phân giác của \angle A cắt BC\Omega tại EF. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle DEF cắt đường tròn bàng tiếp góc A tại S_1, S_2, và \Omega tại T \neq F. Chứng minh AT đi qua S_1 hoặc S_2.

Bài 3. Cho p là một số nguyên tố. Gọi \mathbb F_p là tập các số nguyên modulo p\mathbb F_p[x] là tập các đa thức với hệ số trong \mathbb F_p. Định nghĩa \Psi : \mathbb F_p[x] \to \mathbb F_p[x] bởi \displaystyle\Psi\left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) = \sum_{i=0}^n a_i x^{p^i}. Chứng minh rằng với các đa thức khác không F,G \in \mathbb F_p[x], \Psi(\gcd(F,G)) = \gcd(\Psi(F), \Psi(G)). Ở đây, một đa thức Q chia hết một đa thức P nếu tồn tại R \in \mathbb F_p[x] để P(x) - Q(x) R(x) là đa thức với tất cả các hệ số 0 (với phép cộng và nhân các hệ số lấy theo modulo p), và \gcd của hai đa thức là đa thức bậc lớn nhất với hệ số đầu bằng 1 chia hết cả hai đa thức. Một đa thức khác không là một đa thức không phải tất cả các hệ số bằng 0.

1 thought on “USA TST 2016 (1)”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s