USA TST 2016 (2)


Phần 1: https://nttuan.org/2016/06/30/topic-791/

21/01/2016

Bài 4. Cho \sqrt 3 = 1.b_1b_2b_3 \dots _{(2)} là biểu diễn nhị phân của \sqrt 3. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, ít nhất một trong các chữ số b_n, b_{n+1}, \dots, b_{2n} bằng 1.

Bài 5. Cho số nguyên n \ge 4. Tìm tất cả các hàm W : \{1, \dots, n\}^2 \to \mathbb R sao cho với mỗi phân hoạch [n] = A \cup B \cup C, ta có \displaystyle\sum_{a \in A} \sum_{b \in B} \sum_{c \in C} W(a,b) W(b,c) = |A| |B| |C|. Continue reading “USA TST 2016 (2)”

USA TST 2016 (1)


10/12/2015

Bài 1. Đặt S = \{1, \dots, n\}. Cho một song ánh f : S \to S. Một quỹ đạo của f là một tập có dạng \{x, f(x), f(f(x)), \dots \} với x \in S. Ký hiệu c(f) là số quỹ đạo của f. Cho k song ánh f_1, \ldots, f_k từ S đến chính nó. Chứng minh rằng c(f_1) + \dots + c(f_k) \le n(k-1) + c(f), ở đây f : S \to S là hợp thành f_1 \circ \dots \circ f_k.

Bài 2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Omega, và giả sử đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với BC tại D. Phân giác của \angle A cắt BC\Omega tại EF. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle DEF cắt đường tròn bàng tiếp góc A tại S_1, S_2, và \Omega tại T \neq F. Chứng minh AT đi qua S_1 hoặc S_2. Continue reading “USA TST 2016 (1)”