Functional Equations – 22/6/2016


Bài 9. Cho S là tập tất cả các số thực dương.  Tìm tất cả các hàm số f\colon S^3 \to S sao cho với mỗi số thực dương x, y, zk, các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời

(a) xf(x,y,z) = zf(z,y,x),

(b) f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z),

(c) f(1, k, k+1) = k+1.

Bài 10. Tìm tất cả các hàm  f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* sao cho m^2 + f(n) \mid mf(m) +n\,\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*

Bài 11. Cho \mathbb Q_{>0} là tập tất cả các số hữu tỷ dương. Cho hàm số f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R thỏa mãn đồng thời các điều kiện

(i) với mỗi x,y\in\mathbb Q_{>0}, ta có f(x)f(y)\geq f(xy);

(ii) với mỗi x,y\in\mathbb Q_{>0}, ta có f(x+y)\geq f(x)+f(y);

(iii) tồn tại số hữu tỷ a>1 sao cho f(a)=a.

Chứng minh rằng f(x)=x với mỗi x\in\mathbb Q_{>0}. Continue reading “Functional Equations – 22/6/2016”