USA TST 2016 (2)


Phần 1: https://nttuan.org/2016/06/30/topic-791/

21/01/2016

Bài 4. Cho \sqrt 3 = 1.b_1b_2b_3 \dots _{(2)} là biểu diễn nhị phân của \sqrt 3. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, ít nhất một trong các chữ số b_n, b_{n+1}, \dots, b_{2n} bằng 1.

Bài 5. Cho số nguyên n \ge 4. Tìm tất cả các hàm W : \{1, \dots, n\}^2 \to \mathbb R sao cho với mỗi phân hoạch [n] = A \cup B \cup C, ta có \displaystyle\sum_{a \in A} \sum_{b \in B} \sum_{c \in C} W(a,b) W(b,c) = |A| |B| |C|. Continue reading “USA TST 2016 (2)”

USA TST 2016 (1)


10/12/2015

Bài 1. Đặt S = \{1, \dots, n\}. Cho một song ánh f : S \to S. Một quỹ đạo của f là một tập có dạng \{x, f(x), f(f(x)), \dots \} với x \in S. Ký hiệu c(f) là số quỹ đạo của f. Cho k song ánh f_1, \ldots, f_k từ S đến chính nó. Chứng minh rằng c(f_1) + \dots + c(f_k) \le n(k-1) + c(f), ở đây f : S \to S là hợp thành f_1 \circ \dots \circ f_k.

Bài 2. Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp \Omega, và giả sử đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với BC tại D. Phân giác của \angle A cắt BC\Omega tại EF. Đường tròn ngoại tiếp của \triangle DEF cắt đường tròn bàng tiếp góc A tại S_1, S_2, và \Omega tại T \neq F. Chứng minh AT đi qua S_1 hoặc S_2. Continue reading “USA TST 2016 (1)”

Lời giải của Vesselin Dimitrov cho một bài toán nổi tiếng về số vô tỷ


Ta đã gặp các bài toán sau:

Bài 1. Chứng minh rằng số \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7} là số vô tỷ.

Bài 2. Chứng minh rằng số  \sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1} là một số vô tỷ.

Bài 3. Cho a_i, với i=1,2, \cdots ,n là các số hữu tỷ dương sao cho tồn tại i để \sqrt{a_i} là số vô tỷ. Chứng minh rằng \sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} là số vô tỷ. Continue reading “Lời giải của Vesselin Dimitrov cho một bài toán nổi tiếng về số vô tỷ”

Functional Equations – 22/6/2016


Bài 9. Cho S là tập tất cả các số thực dương.  Tìm tất cả các hàm số f\colon S^3 \to S sao cho với mỗi số thực dương x, y, zk, các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời

(a) xf(x,y,z) = zf(z,y,x),

(b) f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z),

(c) f(1, k, k+1) = k+1.

Bài 10. Tìm tất cả các hàm  f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* sao cho m^2 + f(n) \mid mf(m) +n\,\,\forall m,n\in\mathbb{N}^*

Bài 11. Cho \mathbb Q_{>0} là tập tất cả các số hữu tỷ dương. Cho hàm số f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R thỏa mãn đồng thời các điều kiện

(i) với mỗi x,y\in\mathbb Q_{>0}, ta có f(x)f(y)\geq f(xy);

(ii) với mỗi x,y\in\mathbb Q_{>0}, ta có f(x+y)\geq f(x)+f(y);

(iii) tồn tại số hữu tỷ a>1 sao cho f(a)=a.

Chứng minh rằng f(x)=x với mỗi x\in\mathbb Q_{>0}. Continue reading “Functional Equations – 22/6/2016”

Functional Equations – 20/6/2016


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho

f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:(0;+\infty)\to (0;+\infty) sao cho với các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn abcd=1 ta có

[f(a)+f(b)][f(c)+f(d)]=(a+b)(c+d).

Bài 3. Tìm tất cả các bộ ba (f,g,h) các hàm đơn ánh từ tập các số thực đến chính nó sao cho f(x+f(y)) = g(x) + h(y) , g(x+g(y))= h(x) + f(y), h(x+h(y)) = f(x) + g(y) với mỗi hai số thực xy.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho với mỗi x,y\in\mathbb{R}, ta có f(x)+f(y) = f(x+y)f(x^{2017}) = f(x)^{2017}.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f(x)f(y)+f(x+y)=xy với mỗi hai số thực xy.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sao cho

f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1\,\,\forall x, y \in \mathbb{R}. Continue reading “Functional Equations – 20/6/2016”

Serbia Additional Team Selection Test 2016


Bài 1. Với số nguyên dương x, ta ký hiệu w(x) là ước lẻ lớn nhất của x. Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn \gcd(a,b)=1a+w(b+1), b+w(a+1) đều là các lũy thừa của 2. Chứng minh rằng a+1b+1 là các lũy thừa của 2.

Bài 2. Cho ABCD là hình vuông với cạnh 4. Tìm k lớn nhất sao cho với mọi cách đặt k điểm bên trong ABCD, tồn tại một hình vuông có cạnh 1 nằm trong ABCDsao cho nó không chứa điểm nào bên trong nó. Continue reading “Serbia Additional Team Selection Test 2016”

Một số kết quả trong Hình học phẳng


Tài liệu có một số kết quả hay dùng trong Hình học giải tích phẳng.

Continue reading “Một số kết quả trong Hình học phẳng”