Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Tin


Bài I (2,0 điểm).

1) Giải phương trình (2{{x}^{2}}-6x+5){{(2x-3)}^{2}}=1.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1 \\  2{{x}^{3}}=x-y.\end{cases}

Bài II (2,5 điểm).

1) Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}=x+y.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số \sqrt{\dfrac{4n-2}{n+5}} là số hữu tỉ.

3) Cho a,b,c,d là bốn số nguyên dương thỏa mãn ab=cd. Chứng minh a+b+c+d không phải là số nguyên tố.

Bài III (1,5 điểm).

Cho x,y,z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz=(1-x)(1-y)(1-z). Chứng minh trong ba số x(1-y),\,\,y(1-z) và z(1-x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \dfrac{1}{4}.

Bài IV (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là điểm bất kì trên đoạn thẳng AO  (I khác A, I khác O). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại các điểm C và D. Gọi E là điểm trên đường tròn (O) sao cho D là điểm chính giữa của cung nhỏ AE. Gọi K là giao điểm của AE và CD.

1) Chứng minh OK đi qua trung điểm của CE.

2) Đường thẳng đi qua I và song song với CE cắt AE,\,\,BE lần lượt tại P và Q. Chứng minh tứ giác DPEQ là hình chữ nhật.

3) Tìm vị trí của điểm I trên đoạn thẳng AO để CK=AK+OK.

Bài V (1,0 điểm).

Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 3019. Chứng minh trong 2015 số đó tồn tại bốn số a,b,c,d sao cho a+b+c=d.

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s