Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán


Chúc các em học sinh thi tốt. Continue reading “Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Toán”

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán cho các lớp chuyên Tin


Bài I (2,0 điểm).

1) Giải phương trình (2{{x}^{2}}-6x+5){{(2x-3)}^{2}}=1.

2) Giải hệ phương trình \begin{cases} {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=1 \\  2{{x}^{3}}=x-y.\end{cases}

Bài II (2,5 điểm).

1) Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}=x+y.

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số \sqrt{\dfrac{4n-2}{n+5}} là số hữu tỉ.

3) Cho a,b,c,d là bốn số nguyên dương thỏa mãn ab=cd. Chứng minh a+b+c+d không phải là số nguyên tố.

Bài III (1,5 điểm).

Cho x,y,z là các số thực dương, nhỏ hơn 1 thỏa mãn xyz=(1-x)(1-y)(1-z). Chứng minh trong ba số x(1-y),\,\,y(1-z) và z(1-x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \dfrac{1}{4}.

Bài IV (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là điểm bất kì trên đoạn thẳng AO  (I khác A, I khác O). Đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại các điểm C và D. Gọi E là điểm trên đường tròn (O) sao cho D là điểm chính giữa của cung nhỏ AE. Gọi K là giao điểm của AE và CD.

1) Chứng minh OK đi qua trung điểm của CE.

2) Đường thẳng đi qua I và song song với CE cắt AE,\,\,BE lần lượt tại P và Q. Chứng minh tứ giác DPEQ là hình chữ nhật.

3) Tìm vị trí của điểm I trên đoạn thẳng AO để CK=AK+OK.

Bài V (1,0 điểm).

Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 3019. Chứng minh trong 2015 số đó tồn tại bốn số a,b,c,d sao cho a+b+c=d.

 

Đề thi vào lớp 10 của Hà Nội năm 2015-Môn Toán


Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}  và Q=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{5\sqrt{x}-2}{x-4} với  x>0, x\ne 4.

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x=9.

2) Rút gọn biểu thức Q.

3) Tìm giá trị của x để biểu thức \dfrac{P}{Q} đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Bài III (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình \begin{cases}2(x+y)+\sqrt{x+1}=4\\ (x+y)-3\sqrt{x+1}=-5.\end{cases}

2) Cho phương trình {{x}^{2}}-(m+5)x+3m+6=0 (x là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm {{x}_{1}},{{x}_{2}} là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Bài IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh CA.CB = CH.CD.

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.

4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài V (0,5 điểm). Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=\dfrac{ab}{a+b+2}.

Schur’s inequality (2)


Part 1

Bài 1. Cho các số thực dương a,bc thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

2(a^2+b^2+c^2)+12\geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca).

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực không âm a,bc ta có

(a^4+b^4+c^4)(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).

Bài 3. Cho ba số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2.

Bài 4. Cho các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh rằng 3(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 10.

Bài 5. (USA TST 2002)

Chứng minh rằng với mỗi tam giác ABC ta có

\displaystyle\sum\sin\dfrac{3A}{2}\leq\sum\cos\dfrac{A-B}{2}.

Bài 6. Cho các số thực không âm a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\dfrac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq\max \{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\}.

Bài 7. (USA MO 2003)

Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có

\sum\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8. Continue reading “Schur’s inequality (2)”

Schur’s inequality (1)


See here.

Bài 1. (IMO 1984) Cho x,yz là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng 0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}.

Bài 2. (IMO 2000) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng

\displaystyle\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\leq 1.

Bài 4. (AoPS)  Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thì

a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).

Bài 5. (Crux Math) Chứng minh rằng với mỗi ba số thực dương a,bc ta có \displaystyle\sum\dfrac{1}{a}\geq\sum\dfrac{b+c}{a^2+bc}.

Bài 6. Cho các số thực dương a,bc. Chứng minh rằng

\displaystyle\sum\sqrt[3]{\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\geq\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}. Continue reading “Schur’s inequality (1)”

Balkan MO 2016


Bài 1. Tìm tất cả các đơn ánh f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R sao cho với mọi số thực x và mọi số nguyên dương n ta có

\displaystyle\left|\sum_{i=1}^n i\left(f(x+i+1)-f(f(x+i))\right)\right|<2016.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp với AB<CD. Các đường chéo cắt nhau tại F và các đường thẳng ADBC cắt nhau tại E. Gọi KL là hình chiếu vuông góc của F trên ADBC tương ứng, và M, S, T là trung điểm của EF, CF, DF tương ứng. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKT và đường tròn ngoại tiếp tam giác MLS nằm trên CD.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức monic f với hệ số nguyên sao cho tồn tại số nguyên dương N để p chia hết 2(f(p)!)+1 với mọi số nguyên tố p>N thỏa mãn f(p) là số nguyên dương. Continue reading “Balkan MO 2016”

Turkey Team Selection Test 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC, điểm P được lấy trên đường cao qua A. Các đường thẳng BPCP cắt các cạnh ACAB tại DE tương ứng. Các tiếp tuyến vẽ từ DE của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC tiếp xúc với nó tại KL tương ứng (các điểm này nằm trong tam giác ABC.) Đường thẳng KD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC lần thứ hai tại M, đường thẳng LE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ALB lần thứ hai tại N. Chứng minh rằng

\dfrac{KD}{MD}=\dfrac{LE}{NE} \Leftrightarrow P là trực tâm của tam giác ABC.

Bài 2. Trong một lớp có 23 học sinh, mỗi cặp học sinh đã xem một bộ phim cùng nhau. Tập các bộ phim mà một học sinh đã xem được gọi là tuyển tập phim của học sinh đó. Biết mỗi học sinh đã xem mỗi bộ phim ít nhất một lần, tìm số nhỏ nhất các tuyển tập phim khác nhau.

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2 \le 3. Chứng minh rằng (a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a).

Ngày thứ hai

Bài 4. Dãy các số thực a_0, a_1, \dots thỏa mãn

\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{m}a_n\cdot(-1)^n\cdot\dbinom{m}{n}=0

với mỗi số nguyên dương đủ lớn m. Chứng minh rằng tồn tại đa thức P để a_n=P(n) với mỗi n\ge 0.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* sao cho với mỗi m,n \in \mathbb{N}^* ta có f(mn)=f(m)f(n)m+n \mid f(m)+f(n).

Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A với D là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua D cắt AB tại K, AC tại L. Lấy E trên cạnh BC khác D, P trên AE sao cho \angle KPL=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle KALE nằm giữa AP. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE cắt PK lần thứ hai tại X, PL lần thứ hai tại Y. DX cắt AB tại M, DY cắt AC tại N. Chứng minh rằng bốn điểm P,M,AN cùng nằm trên một đường tròn. Continue reading “Turkey Team Selection Test 2016”