USAJMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho \triangle ABC cân tại A nội tiếp đường tròn \omega. Gọi P là một điểm di động trên cung \stackrel{\frown}{BC} không chứa A, I_BI_C là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác \triangle ABP\triangle ACP tương ứng. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của \triangle PI_BI_C đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n < 10^6 sao cho 5^n6 chữ số 0 liên tiếp trong biểu diễn thập phân của nó.

Bài 3. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho nếu bỏ đi 2016 phần tử bất kỳ của tập \{1, 2,...,N\}, ta vẫn có thể tìm trong tập gồm N-2016 phần tử còn lại 2016 số khác nhau với tổng bằng N.

Bài 5. Cho \triangle ABC là tam giác nhọn với O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Điểm H là chân đường cao hạ từ A của tam giác, các điểm PQ là chân các đường vuông góc hạ từ H đến ABAC, tương ứng. Biết AH^2=2\cdot AO^2, chứng minh O,P,Q thẳng hàng.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} sao cho

(f(x)+xy)\cdot f(x-3y)+(f(y)+xy)\cdot f(3x-y)=(f(x+y))^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s