USAMO 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho X_1, X_2, \ldots, X_{100} là dãy các tập con phân biệt khác rỗng của một tập S sao cho X_i\cap X_{i+1}=\emptysetX_i\cup X_{i+1}\neq S với mỗi i\in\{1, \ldots, 99\}. Tìm giá trị nhỏ nhất của |S|.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, số \displaystyle (k^2)!\cdot\displaystyle\prod_{j=0}^{k-1}\frac{j!}{(j+k)!} là một số nguyên.

Bài 3. Cho \triangle ABC nhọn với I_B, I_C,O là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh B, tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh C, và tâm đường tròn ngoại tiếp tương ứng. Các điểm EY được lấy trên AC sao cho \angle ABY=\angle CBYBE\perp AC. Các điểm FZ được lấy trên AB sao cho \angle ACZ=\angle BCZCF\perp AB. Các đường thẳng I_BFI_CE cắt nhau tại P. Chứng minh rằng PO\bot YZ.

Ngày thứ hai

Bài 4. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} sao cho

(f(x)+xy)\cdot f(x-3y)+(f(y)+xy)\cdot f(3x-y)=(f(x+y))^2\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 5. Ngũ giác đều AMNPQ nội tiếp tam giác ABC sao cho M\in AB, Q\in AC, và N,P\in BC. Gọi S là giao của MNPQ. Gọi \ell là phân giác của \angle MSQ. Chứng minh OI song song với \ell, ở đây O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Bài 6. Cho các số nguyên nk thỏa mãn n\ge k\ge2. Bạn phải chơi một trò chơi sau với một nhà ảo thuật. Nhà ảo thuật có 2n tấm thẻ; với mỗi i=1,\ldots,n, có hai tấm thể gán số i. Đầu tiên, nhà ảo thuật xếp các tấm thể thành một hàng và úp mặt xuống. Bạn có thể thực hiện lặp lại các thao tác có dạng: bạn chọn k tấm thể nào đó. Nhà ảo thuật lật các tấm thẻ đó lên. Nếu có hai tấm thẻ mang cùng số thì trò chơi kết thúc và bạn thắng. Ngược lại, bạn phải làm lại sau khi nhà ảo thuật hoán vị k tấm thẻ đó và đặt úp chúng trở lại. Ta nói trò chơi này là có thể thắng nếu tồn tại số nguyên dương m và một cách chơi sao cho bạn thắng sau nhiều nhất m bước. Tìm nk để trò chơi này có thể thắng.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s