China National Olympiad 2016


Ngày thứ nhất

Bài 1. Xét các số nguyên dương a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31} thỏa mãn

a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015,\quad b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.

Bài 2. Cho \triangle AEF, gọi BD nằm trên các đoạn AEAF tương ứng, và cho ED cắt FB tại C. Lấy K,L,M,N trên các đoạn AB,BC,CD,DA tương ứng sao cho \dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AD}{BC},.... Đường tròn nội tiếp của \triangle AEF tiếp xúc với AE,AF tại S,T tương ứng, đường tròn nội tiếp của \triangle CEF tiếp xúc với CE,CF tại U,V tương ứng. Chứng minh rằng nếu K,L,M,N cùng nằm trên một đường tròn thì S,T,U,V cũng thế.

Bài 3. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên a_1, a_2,...,a_p. Chứng minh rằng hai điều kiện sau tương đương

1) Tồn tại đa thức P(x) bậc \leq \dfrac{p-1}{2} sao cho

P(i) \equiv a_i \pmod p\quad\forall i=1,2,\ldots,p.

2) Với mỗi số nguyên dương d \leq \dfrac{p-1}{2},

\sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p

ở đây chỉ số được mở rộng theo \pmod p.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho số nguyên dương n \geq 2k là số các số nguyên tố \leq n. Gọi A là một tập con của S = \{2,...,n\} sao cho |A| \leq k và không có hai phần tử x,y nào của A thỏa mãn x|y. Chứng minh rằng tồn tại tập B sao cho |B| = k, A \subset B \subset S và không có hai phần tử x,y nào của A thỏa mãn x|y.

Bài 5. Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng tồn tại hình vuông A'B'C'D' sao cho A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D'AA',BB',CC',DD' đồng qui.

Bài 6. Cho G là một graph đủ có hướng với 100 đỉnh sao cho với mỗi hai đỉnh xy, ta có thể tìm một đường có hướng từ x đến y.

a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên m sao cho với mỗi hai đỉnh xy, ta có thể tìm một đường có hướng độ dài m từ x đến y; (Các đỉnh có thể lặp trên đường)

b) Gọi m(G) là giá trị nhỏ nhất của m trong câu trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của m(G) khi G thay đổi.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s