China Team Selection Test 2016 (3)


Đây là phần cuối, mời các bạn xem 2 phần trước ở https://nttuan.org/2016/04/11/topic-771/https://nttuan.org/2016/04/09/topic-769/

—–

Ngày thứ nhất

Bài 13. Cho số nguyên n lớn hơn 1, \alpha là số thực thỏa mãn 0<\alpha < 2, a_1,\ldots ,a_n,c_1,\ldots ,c_n là các số nguyên dương. Với y>0, đặt f(y)=\left(\sum_{a_i\le y} c_ia_i^2\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{a_i>y} c_ia_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}}. Với số dương x thỏa mãn x\ge f(y) (với y nào đấy), chứng minh f(x)\le 8^{\frac{1}{\alpha}}\cdot x.

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm với cả hai tọa độ là số hữu tỷ sẽ được gọi là các điểm hữu tỷ. Với mỗi số nguyên dương n, liệu có thể dùng n màu để tô tất cả các điểm hữu tỷ (mỗi điểm tô bởi 1 màu) sao cho mỗi đoạn với các đầu mút là các điểm hữu tỷ chứa các điểm hữu tỷ mang mỗi màu?

Bài 15. Cho tứ giác nội tiếp ABCDAB>BC, AD>DC, I,J là tâm nội tiếp của \triangle ABC,\triangle ADC tương ứng. Đường tròn đường kính AC cắt đoạn IB tại X, và phần kéo dài của JD tại Y. Chứng minh nếu B,I,J,D cùng nằm trên một đường tròn thì XY đối xứng với nhau qua AC.

Ngày thứ hai

Bài 16. Cho a,b,b',c,m,q là các số nguyên dương thỏa mãn m>1,q>1,|b-b'|\ge a. Giả sử tồn tại số nguyên dương M sao cho

S_q(an+b)\equiv S_q(an+b')+c\pmod{m} với mọi số nguyên n\ge M. Chứng minh rằng đẳng thức trên đúng với mỗi số nguyên dương n. (Ở đây S_q(x) là tổng các chữ số của x trong cơ số q).

Bài 17. Cho S là một tập gồm hữu hạn điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và bao lồi \Omega của S2016-giác A_1A_2\ldots A_{2016}. Mỗi điểm thuộc S được viết một trong bốn số \pm 1,\pm 2 sao cho với i=1,2,\ldots , 1008, số viết trên các điểm A_iA_{i+1008} là đối nhau. Vẽ các tam giác với các đỉnh thuộc S sao cho mỗi hai tam giác không có điểm trong chung và hợp của chúng là \Omega. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác thỏa mãn hai số viết trên hai đỉnh nào đấy là đối nhau.

Bài 18. Tìm tất cả các hàm f: \mathbb R^+ \rightarrow \mathbb R^+ thỏa mãn: Với mỗi ba số thực phân biệt a,b,c, tồn tại tam giác có ba cạnh a,b,c khi và chỉ khi tồn tại tam giác với ba cạnh f(a),f(b),f(c).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s